¿La operación de convolución es algún tipo de operación de grupo?

Question

Sólo por curiosidad, ¿la operación de convolución será algún tipo de operación de grupo? Un ejemplo motivador sería ver que la familia exponencial natural de funciones de distribución es cerrada bajo convolución (aunque no estoy seguro de la inversa). Sé que la representación unitaria irreducible es un posible vínculo de la convolución con los grupos, pero es sólo una corazonada.

Si no, ¿podría relacionarse con alguna estructura más débil? como un monoide, semigrupo?

Answer 1

Dejemos que $X$ sea un conjunto cualquiera y $F$ un campo. El espacio de las funciones $\hom(X,F)$ es un espacio vectorial sobre $F$ dada cualquier función $f:X\to F$ y escalar $a\in F$ tenemos $(af)(x):=af(x)$ y dada cualquier otra función $g$ tenemos $(f+g)(x):=f(x)+f(x)$ para todos $x\in X$ . Estos se denominan punto de vista porque se actúa sobre la función actuando sobre su valor en cada argumento individual.

Si $M$ es un monoide cualquiera, podemos equipar $\hom(M,F)$ con un operación de convolución

$$(f*g)(x):=\sum_{ab=x}f(a)g(b).$$

Esta operación es conmutativa si $M$ es conmutativo, pero no necesariamente. Esto se debe a que las tuplas $(a,b)$ para lo cual $ab=x$ pueden no ser las mismas tuplas para las que $ba=x$ . Pero la operación es asociativa. Y la función $f$ definido por $f(e_M)=1_F$ y $f(x)=0$ para $x\ne e_M$ es un elemento de identidad de dos caras con respecto a esta operación. Además, ¡la convolución distribuye sobre la adición!

Esto significa que $\hom(M,F)$ forma un unital, asociativo álgebra sobre un campo cuando está dotado de adición puntual y convolución. También se puede restringir a ciertos subespacios de $\hom(M,F)$ (por ejemplo, si $M$ y $F$ son topológicos, entonces podemos tomar mapas continuos compactamente soportados).

Ejemplo: si tomamos el subespacio de funciones con soporte finito, obtenemos el álgebra monoide denotado $F[M]$ . Esto se suele presentar como el espacio de la forma $F$ -combinaciones lineales de elementos de $M$ (con la evidente multiplicación ampliada mediante la propiedad distributiva). Tal suma formal de la forma $\sum_{x\in M} a_xx$ corresponde a la función $x\mapsto a_x$ . Comprueba por ti mismo que la multiplicación de sumas formales corresponde a la convolución de funciones.

Ejemplo: si $M=(\Bbb N,+)$ son los naturales (que contienen $0$ ) bajo adición, entonces $F[M]\cong F[x]$ es el anillo polinómico en una variable. (¿Puedes averiguar cuál es el isomorfismo?)

Answer 2

El espacio de funciones integrables bajo convolución es una semicategoría conmutativa. Es decir, es conmutativa y asociativa, pero no está definida para todas las funciones integrables. Si sólo se consideran aquellas funciones para las que sus convoluciones están definidas (es decir funciones continuas con soporte compacto entonces es cerrado, pero en el mejor de los casos, se obtiene un semigrupo conmutativo.