Si $X$ es una zona compacta $T_2$ entonces la compactación de Alexandroff es la menor compactación de $X$

Question

Definición (0)

Que sea $X$ un espacio topológico. Por lo tanto, un par $(h,K)$ es una compactación de $X$ si $K$ es un espacio compacto y si $h:X\rightarrow K$ es una incrustación de $X$ en $K$ tal que $h[X]$ es denso en $K$ . Además, una compactación $(h,K)$ de $X$ es un $T_2$ compactación si $K$ es un espacio compacto de Hausdorf.

Definición (1)

Si $(h_1,K_1)$ y $(h_2,K_2)$ son dos compactificaciones de algún espacio topológico $X$ decimos que $(h_1,K_1)\preccurlyeq(h_2,K_2)$ si existe una función continua $p$ tal que $p\circ h_2=h_1$ .

Lema (2)

Si $X$ un espacio localmente compacto y $f:X\rightarrow Y$ una función continua suryente sobre el espacio topológico $Y$ entonces también $Y$ es localmente compacto.

Lema (3)

Si X es un espacio Hausdorff localmente compacto, entonces cualquier subespacio denso localmente compacto $Y$ está abierto.

Lema (4)

Que sea $(X,\mathcal{T})$ un espacio topológico no compacto y sea $\infty\notin X$ Así pues, el $X^\infty=X\cup\{\infty\}$ consideramos la topología $$\mathcal{T}^\infty:= \{U \subseteq X^\infty\mid U \cap X \in \mathcal{T} \land (\infty \in U \implies X \setminus U \mathrm{\ compact)}\}$$ y la función $i:X\rightarrow X^\infty$ definido como $$i(x)=x$$ Así que la pareja $(i,X^\infty)$ es una compactación del espacio $X$ que denominamos compactación de Alexandroff del espacio $X$ .

Lema (5)

Que sea $X$ un espacio Hausdorff no compacto: por lo que la compactificación de Alexandroff $(i,X^\infty)$ de $X$ es un espacio Hausdorff si $X$ es localmente compacto.

Declaración (6)

La compactación de Alexandroff $(i,X^\infty)$ es la compactación más pequeña de cualquier compacta local $T_2$ espacio $X$ .

Prueba . Bueno, dejemos que $X$ un localmente compacto $T_2$ espacio y $(h,K)$ y su compactación. Así pues, consideramos la función $p:K\rightarrow X^\infty$ definido como $$p(k)=\begin{cases}i(x),\text{if } k=h(x)\text{ for some }x\in X\\\infty,\text{ if }x\in K\setminus h[X]\end{cases}$$ y observamos que $p\circ h=i$ así que si vamos a probar que $p$ es continua habremos demostrado la afirmación. Entonces, dejemos que sea $U\in\mathcal{T^\infty}$ y demostramos que $p^{-1}(U)$ está abierto en $K$ . Previamente observamos que $h[X]$ está abierto en $K$ desde $h[X]$ es localmente compacto y denso en $K$ . Así que si $\infty\notin U$ y por lo tanto si $U\subseteq X$ resulta que $U$ está abierto en $X$ y por la definición de $p$ tenemos $p^{-1}(U)=h[U]$ que está abierto en $h[X]$ y así en $K$ . Entonces, si $\infty\in U$ entonces $X\setminus U$ es compacto en $X$ ...

Lamentablemente no puedo probar la continuidad de $p$ por lo que solicito su ayuda. Entonces utilicé el lema $4$ en $h[X]$ pero no sé si $K$ es $T_2$ . ¿Podría alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Si $\infty\in U$ entonces $X\setminus U$ es compacto, por lo que $p^{-1}[X\setminus U]=h[X\setminus U]$ es compacto. Si $K$ es Hausdorff, $p^{-1}[X\setminus U]$ está cerrado en $K$ y por lo tanto $p^{-1}[U]$ está abierto en $K$ , según se desee.

Dejemos que $S=\{2^{-n}:n\in\Bbb Z^+\}$ y que $X=\Bbb N\cup S$ con la topología que hereda de la línea real, donde $\Bbb N$ es el conjunto de enteros no negativos; claramente $X$ es localmente compacto y Hausdorff. Sea $X_0=X\setminus\{0\}$ el conjunto de puntos aislados de $X$ . Sea $K=\{q\}\cup X$ , donde $q$ es cualquier punto que no esté en $X$ y topologizar $K$ de la siguiente manera: $X$ es un subespacio abierto de $K$ y los conjuntos de la forma $\{q\}\cup(X_0\setminus F)$ para $F$ un subconjunto finito de $X_0$ formar una base local en $q$ . Claramente $K$ es compacto, y $X$ es denso en $K$ Así que $\langle h,K\rangle$ es una compactación de $X$ , donde $h:X\to K:x\mapsto x$ .

Ahora $\{0\}\cup S$ es un subconjunto compacto de $X$ Así que $\{\infty\}\cup\Bbb Z^+$ está abierto en $X^\infty$ . Sin embargo,

$$p^{-1}[\{\infty\}\cup\Bbb Z^+]=\{q\}\cup\Bbb Z^+\;,$$

que no está abierto en $K$ Así que $p$ no es continua.