¿Son equivalentes estas dos frases?

Question

Tengo una frase en lenguaje natural: "la suma tiene un elemento neutro y es único", que tengo que escribir en un lenguaje de primer orden que tiene un símbolo de relación binaria de igualdad $='$ y un símbolo de función binaria $f_1$ que representa la suma. Nos dijeron que no nos molestáramos con la identidad de la izquierda y la derecha, que sólo comprobáramos una. Así que lo que hice es:

$(\exists x_i)(\forall x_j)f_1(x_i,x_j) =' x_j \land (\forall x_k)( (\forall x_j)f_1(x_i,x_j) =' x_j \to (x_i =' x_k)).$

A alguien en la clase se le ocurrió este otro que parece equivalente pero al mismo tiempo, no parece decir lo mismo (lo que por supuesto no tiene sentido, o es equivalente y dice lo mismo o no es equivalente):

$(\exists x_i)(\forall x_j)(f_1(x_i,x_j) =' x_j \land (\forall x_k)(f_1(x_k,x_j) =' x_j \to (x_i =' x_k))).$

Observe que ahora cada ocurrencia de $x_j$ está bajo la influencia del mismo cuantificador. Así que entiendo que puedo cambiar el orden de los $(\forall x_k)(\forall x_j)$ en mi fórmula y luego aplico que el cuantificador universal distribuye sobre la conjunción, y obtengo su fórmula, y así son equivalentes. ¿Es eso correcto?

Y, por supuesto, si hay algo incorrecto en mi fórmula, por favor, indíquelo.

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Modifier

Como ha señalado ryang, hay un problema en mi fórmula, ya que sólo la primera aparición de $x_i$ está bajo la influencia del cuantificador existencial. Leyendo de nuevo, me he dado cuenta de otra errata, donde dice $x_i$ en lugar de $x_k$ . Así, la versión corregida de mi fórmula es:

$(\exists x_i)((\forall x_j)f_1(x_i,x_j) =' x_j \land (\forall x_k)( (\forall x_j)f_1(x_k,x_j) =' x_j \to (x_i =' x_k))).$

Answer 1

$(\exists x_i)(\forall x_j)f_1(x_i,x_j) =' x_j \land (\forall x_k)( (\forall x_j)f_1(x_i,x_j) =' x_j \to (x_i =' x_k))$

$(\exists x_i)(\forall x_j)(f_1(x_i,x_j) =' x_j \land (\forall x_k)(f_1(x_k,x_j) =' x_j \to (x_i =' x_k)))$

Dado que la variable $x_i$ es libre en la primera fórmula pero no en la segunda, las fórmulas no son equivalentes.

Para analizar sólo su forma lógica, sus dos fórmulas pueden reescribirse más fácilmente: \begin{gather}xy\; Pxyy \quad\quad z\; (y\; Pxyy \to Qxz)\tag1\\xy\; \Big(Pxyy \quad\quad z\;(Pzyy \to Qxz)\Big).\tag2\end{gather} Para facilitar la comparación, he aquí una reescritura lógica: \begin{gather}rszy\; \Big(Prss \quad\quad (Pxyy \to Qxz)\Big)\tag1\\xzy\; \Big(Pxyy \quad\quad (Pzyy \to Qxz)\Big).\tag2\end{gather}

P.D. Tenga en cuenta que \begin{align}&y\; Pxyy \to Qxz\\\equiv{}& (y\; Pxyy) \to Qxz\\\equiv{}& y\;(Pxyy \to Qxz).\end{align}

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Apéndice (que corresponde a la OP's Modifier )

la versión corregida de mi fórmula es: $(\exists x_i)((\forall x_j)f_1(x_i,x_j) =' x_j \land (\forall x_k)( (\forall x_j)f_1(x_k,x_j) =' x_j \to (x_i =' x_k)))$

Considerando su forma lógica: $$x\;\Big(y\; Pxyy \quad\quad z\; (y\; Pzyy \to Qxz)\Big).\tag{1r}$$

Reescritura lógica: $$xszy\; \Big(Pxss \quad\quad (Pzyy \to Qxz)\Big).\tag{1r}$$

Desgraciadamente, $$xzy\; \Big(Pxyy \quad\quad (Pzyy \to Qxz)\Big)\tag2$$ (duplicado desde arriba) no es lógicamente equivalente a $(1)$ ni $(1r).$

Answer 2

Sí se puede cambiar el orden de dos(o más) cuantificadores adyacentes "por cada", y sí, el cuantificador puede distribuirse sobre la conjunción, la verdadera cuestión es dónde poner los paréntesis, y esto depende no sólo del significado de la frase, sino también del significado de los paréntesis, la convención creo que es que cuando un cuantificador está en un paréntesis, se extiende sólo a los enunciados dentro de ese paréntesis (a menos que los uses como aquí donde cada cuantificador está solo en un par de paréntesis, entonces es razonable asumir que se aplican a los paréntesis adyacentes a ellos)

Así que, en resumen, sí, las dos afirmaciones son equivalentes si las pones entre paréntesis correctamente