Métodos de suma de series divergentes

Question

Hay muchos métodos para asignar un valor a una serie que diverge, por ejemplo, la regularización de la función zeta, la suma de Abel, la suma de Cesaro, etc. De todos los ejemplos que he encontrado, dos métodos dan el mismo resultado o uno de ellos no funciona. Por ejemplo, tanto la regularización de la función zeta, como el sumatorio de Ramanujun y un método de Euler asignan -1/12 a 1 + 2 + 3 + 4 + ... mientras que el sumatorio de Abel no puede asignar ningún valor. Mi pregunta es si hay algún ejemplo de serie a la que los distintos métodos de suma asignen valores diferentes o es que dos métodos de suma deben coincidir en series divergentes (a las que puedan asignar un valor). Aquí estoy asumiendo que ambos métodos de suma asignan el valor correcto a las series convergentes y son lineales. Supongo que necesitamos condiciones más fuertes ya que parece que el espacio de las series convergentes no es denso, en algún sentido, en el espacio de todas las series.

EDIT: He podido hacerme con un ejemplar de la "Serie Divergente" de Hardy. Es un libro muy bueno pero todavía no he podido encontrar en él un ejemplo de una serie divergente a la que se le asignen dos valores diferentes por dos métodos de suma lineales y consistentes diferentes. Sí que muestra cómo un método que es lineal obliga a las series específicas a tener un valor único. Seguramente la cuestión de si dos métodos generales de suma (con condiciones razonables que satisfagan) pueden no coincidir en una determinada serie debe surgir en algún lugar de la literatura.

Answer 1

La mayoría de los métodos de suma vienen equipados con teoremas de Tauber, que básicamente dicen que dadas algunas condiciones sobre la rapidez con que divergen los términos, si el método da una respuesta, esa respuesta es básicamente única. La mayoría de los métodos de suma (que han resistido el paso del tiempo) están ordenados en una jerarquía, de modo que si un método "más débil" funciona, entonces todos los métodos "más fuertes" (los que pueden tratar con una divergencia mayor) funcionarán y darán la misma respuesta. El libro de Hardy cubre todo este material en detalle.

Otra buena fuente moderna es el libro de Balser "From divergent series to analytic differential equations", que hace un gran trabajo al digerir la teoría de Ecalle sobre las funciones resurgentes y la resomabilidad y devolverla en términos que los simples mortales puedan entender. También se puede disfrutar de un buen resumen, por Christiane Rousseau Serie Divergente: pasado, presente y futuro .

Answer 2

Si una serie tiene una suma de Cesaro bien definida, entonces tiene una suma de Abel bien definida y son iguales. Creo que aprendí esto por primera vez en el libro de Hardy Serie Divergente la prueba es lo suficientemente corta como para darla aquí.

Dejemos que $a_i$ sea la serie en cuestión, y que $s_m = \sum_{i=0}^m a_i$ y $c_n = \sum_{m=0}^n s_m$ . La afirmación de que la suma de Cesaro está bien definida es que $$c_n = (n+1)(L + o(1)).$$

Dejemos que $A(x) = \sum a_i x^i$ . Entonces $\sum c_i x^i = A(x)/(1-x)^2$ así que $$ A(x) = (1-x)^2 \sum_{n=0}^{\infty} (L (n+1) + o(n+1)) x^n$$ donde el $o$ es como $n \to \infty$ independientemente de $x$ . Pero $$\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n = 1/(1-x)^2$$ así que $$A(x) = L (1-x)^2/(1-x)^2 + o \left( (1-x)^2/(1-x)^2\right) = L+ o(1) \quad \mbox{as} \ x \to 1^{-}.$$ Así que la suma de Abel de $a_i$ también es $L$ .

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Se ha borrado un argumento de que la sumabilidad de Cesaro implica la sumabilidad de zeta; no estoy seguro de que pueda sumar por partes cuando sea necesario.

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Quiero decir que me siento culpable al escribir casos especiales como éste. Tengo la vaga impresión de que aquí hay una filosofía muy general, algo así como el teorema Tauberiano generalizado de Wiener. (Pero presumiblemente más fácil, ya que estamos generalizando el teorema de Abel, no el de Tauber). Espero que alguien se pase por aquí y escriba una exposición al respecto.

Answer 3

La serie 1-1+1-1+... tiene un larga historia de personas que le asignan diferentes valores utilizando diferentes métodos.

Answer 4

G. H. Hardy, SERIE DIVERGENTE, página 73:

No existe un teorema general para los métodos abelianos que corresponda al teorema 17: diferentes métodos pueden sumar la misma serie a sumas diferentes. Así, $1-1+1-\dots$ es sumable $(\mathrm{A})$ a la suma $\frac{1}{2}$ , pero sumable $(\mathrm{A},\lambda)$ cuando $(\lambda_n)$ es la secuencia $0,1,3,4,6,7,\dots$ , a $\frac{1}{3}$ : véase el apartado 3.9.

Answer 5

Hardy está lleno de ejemplos de este tipo, si se entrecierra el ojo correctamente cuando se mira. La palabra clave es estabilidad .

Dado cualquier método de suma Σ, considere otro método de suma Σ′, definido como
    (a₀+a₁+a₂+ ) _Σ′ ≔ a₀+(a₁+a₂+ ) _Σ . Entonces Σ′≠Σ si Σ no es estable - lo que le da la propiedad requerida. (Por supuesto, se puede hacer lo mismo con dilución (0+ a₁ +0+ a₂ +0+ ) _Σ también)

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Por ejemplo, si (1+1+1+ ) _Σ \= -½ (por ejemplo, en el sentido de Dirichlet), entonces (1+1+1+ ) _Σ′ \= ½.