Una función sobolev con diferencial cero es constante

Question

Dejemos que $U$ sea un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ :

Supongamos que $u \in W^{1,p}(U)$ satisface $Du=0$ casi en todas partes en $U$ .

Cómo probar $u$ es constante a.e en $U$ ?

Answer 1

Tenemos que trabajar con moledores $(\rho_\epsilon)_{\epsilon > 0}$ donde podemos empezar con $\epsilon$ suficientemente pequeño para cada punto de $U$ para que la función esté bien definida.

Se sabe que como $\epsilon \to 0$ tenemos en $W^{1,p}$ que $u * \rho_\epsilon \to u$ . Desde $D(u * \rho_\epsilon) = Du * \rho_\epsilon = 0$ tenemos que $u * \rho_\epsilon$ es constante, ya que es una función suave con derivada $0$ . Que esta constante sea $c_\epsilon$ .

Por lo tanto, $u$ es el límite de funciones constantes, por lo que también es constante, ya que la convergencia en $W^{1,p}$ implica la convergencia en $L^p$ , lo que implica la convergencia a.e.

Vale la pena señalar que esto es cierto sólo si $\Omega$ es conectado, de lo contrario la función podría tomar diferentes constantes en diferentes componentes conectados.

Answer 2

Desde $D u = 0$ , usted tiene $u \in W^{k,p}(\Omega)$ para todos $k \ge 1$ . Por incrustación de Sobolev, $u$ es suave. Ahora, es fácil comprobar que $u$ es constante (en cada componente conectado de $\Omega$ ).