Sí. Esto se da en Kelley's Topología general . (Kelley fue uno de los principales matemáticos que desarrolló la teoría de las redes para que fuera útil en la topología en general y no sólo en ciertas aplicaciones en el análisis).
En la sección "Clases de convergencia" al final del capítulo 2 de su libro, Kelley enumera los siguientes axiomas para las redes convergentes en un espacio topológico $X$
a) Si $S$ es una red tal que $S_n = s$ para cada $n$ [es decir, una red constante], entonces $S$ converge a $s$ .
b) Si $S$ converge a $s$ También lo hace cada subred.
c) Si $S$ no converge a $s$ entonces hay una subred de $S$ cuya subred no converge a $s$ .
d) (Teorema de los límites iterados): Sea $D$ sea un conjunto dirigido. Para cada $m \in D$ , dejemos que $E_m$ sea un conjunto dirigido, sea $F$ sea el producto $D \times \prod_{m \in D} E_m$ y para $(m,f)$ en $F$ dejar $R(m,f) = (m,f(m))$ . Si $S(m,n)$ es un elemento de $X$ para cada $m \in D$ y $n \in E_m$ y $\lim_m \lim_n S(m,n) = s$ entonces $S \circ R$ converge a $s$ .
Anteriormente ha demostrado que, en cualquier espacio topológico, la convergencia de las redes satisface de a) a d). (Las tres primeras son fáciles; la parte d) es, creo, un resultado original suyo). En esta sección demuestra lo contrario: dado un conjunto $S$ y un conjunto $\mathcal{C}$ de pares (red,punto) que satisfacen los cuatro axiomas anteriores, existe una topología única en $S$ tal que una red $N$ converge a $s \in X$ si $(N,s) \in \mathcal{C}$ .
La propiedad d) siempre me ha parecido poco atractiva, rozando la opacidad, pero es una afirmación puramente personal.
Apéndice : Me interesaría mucho saber si alguien ha puesto esta caracterización para algún propósito útil. Hace un par de años decidí volver a aprender topología general y escribir apuntes esta vez. La flor de mis esfuerzos fue un ensayo sobre la convergencia en los espacios topológicos que parece cubrir todas las bases (especialmente, la comparación de redes y filtros) con más solidez que en cualquier texto que haya visto.
http://alpha.math.uga.edu/~pete/convergence.pdf
Pero "incluso" en estos apuntes no hablé ni del teorema de los límites iterados ni (en consecuencia) del teorema de Kelley anterior: Sinceramente, no pude interiorizarlo sin darle muchas más vueltas. Pero siempre he sentido/preocupado que debe haber alguna idea y contenido allí...
