Simplificación de expresiones racionales

Question

La función:

$$f(x) = \frac{3x - 4}{x^2 - 2x}$$

se simplifica a:

$$f(x) = \frac{2}{x} + \frac{1}{x - 2}$$

¿Cómo? ¿Y de qué manera?

Answer 1

Nos gustaría escribir $\dfrac{3x-4}{x^2-2x} = \dfrac{3x-4}{x(x-2)}$ en la forma $\dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x-2}$ para algunas constantes $A,B$ .

Ahora, sólo tenemos que resolver para $A,B$ . En primer lugar, vamos a deshacernos de las fracciones:

$\dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x-2} = \dfrac{3x-4}{x(x-2)}$

$A(x-2)+Bx = 3x-4$

Esta igualdad debe ser cierta para todos los valores de $x$ por lo que debe ser cierto para $x = 0$ y $x = 2$ :

Enchufar $x = 0$ nos da $A \cdot (0-2) + B \cdot 0 = 3 \cdot 0 - 4$ es decir $-2A = -4$ . Por lo tanto, $A = 2$ .

Enchufar $x = 2$ nos da $A \cdot (2-2) + B \cdot 2 = 3 \cdot 2 - 4$ es decir $2B = 2$ . Por lo tanto, $B = 1$ .

Por lo tanto, $\dfrac{3x-4}{x(x-2)} = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x-2}$ .

También puede resolver $A(x-2)+Bx = 3x-4$ escribiéndolo como $(A+B)x+2A = 3x-4$ y la equiparación de los coeficientes. Entonces, se obtienen las ecuaciones $A+B = 3$ y $2A = -4$ . Al resolver este sistema lineal se obtiene $A = 2$ y $B = 1$ como se obtuvo con el primer método.

Nota: Esta técnica se llama Descomposición Parcial de Fracciones. Le sugiero que busque en Google ese término para obtener más información sobre este método.

Answer 2

$$f(x)=\frac {3x-4}{x^2-2x}\\ =\frac {3x-4}{x(x-2)}\\ =\frac Ax +\frac B{x-2}\\ =\frac {A(x-2)+Bx}{x(x-2)}$$

Numeradores de la ecuación: $$3x-4=A(x-2)+Bx\\ =(A+B)x-2A$$ da $A=2,B=1$ es decir

$$f(x)=\frac {3x-4}{x^2-2x}=\frac 2x +\frac 1{x-2}$$