Supongo que todo el mundo está familiarizado con el conjunto de Mandelbrot. Estoy dando un curso de ahora en el que estoy tratando de transmitir la belleza de algunas ideas matemáticas a estudiantes de primer año. Básicamente, saber de cálculo, pero no mucho más allá. El conjunto de Mandelbrot es sin duda fascinante en el que usted puede ampliar y obtener una increíble cantidad de detalles, todos de un análisis de la simple recursividad $z\mapsto z^2+c$. Así que mi plan es para mostrarles una película de un profundo fractal zoom, y vaya a través de la definición del conjunto de Mandelbrot. Pero también me gustaría mostrarles algo matemáticamente riguroso, y las principales propiedades interesantes que sé sobre el conjunto de Mandelbrot está más allá del alcance del curso. Podría hablar de la conectividad, que es, por supuesto, un importante resultado, pero que probablemente no es que le interesa a alguien a su nivel. Así que mi pregunta es si alguien tiene alguna idea acerca de una propiedad interesante del conjunto de Mandelbrot que me podrían discutir en el cálculo de nivel, esperemos que también un cálculo real o una simple prueba.
Respuestas
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Siempre pienso en una discusión sobre el conjunto de Mandelbrot debe ir junto con una explicación de la logística de la familia, como un simple (el más simple?) interesante modelo de la dinámica de la población. Por supuesto, la logística de la familia es sólo la parte real del conjunto de Mandelbrot, y he aquí un simple pre-ejercicio de cálculo: muestra cómo cambiar las coordenadas para obtener una parametrización de la otra.
(O: Incluso demostrar que se puede cambiar las coordenadas de cada complejo, cuadrática, polinomial para conseguir uno de la forma $z^2+c$.)
El hecho de que el conjunto de Mandelbrot está limitada que ya se ha dicho en una respuesta anterior. Es fácil y sencillo, y bien vale la cubierta.
Algunos otros ejercicios fáciles sería determinar los puntos fijos de los polinomios, y la región donde hay una atracción de punto fijo (derivado de módulo menor que uno), es decir, el "principal cardioide" del conjunto de Mandelbrot. Hacer la misma cosa para el período 2, y tal vez la pregunta ¿qué pasa con mayores períodos de tiempo - ver también los comentarios sobre la densidad de hyperbolicity a continuación.
También es posible analizar la estructura de la Julia (espacio de fase), y, en particular, la diferencia entre desconectado conjuntos de Julia fuera de M y conectado conjuntos de Julia en el interior. Mientras que una prueba formal sería difícil en este nivel, dando la idea geométrica no es demasiado difícil, y por muy real negativo c (es decir, un gran $\lambda$ en la logística de parametrización), el resultado de que el invariante es un conjunto de Cantor es fácil de hacer con medios elementales (esto se hace por ejemplo en Devaney del libro "Un primer curso sobre sistemas dinámicos caóticos").
Usted dice que la conectividad del conjunto de Mandelbrot no podría ser interesante para ellos, pero siempre es posible contar con la divertida historia acerca de cómo Mandelbrot del primer equipo de imágenes sugiere que M es desconectado, pero el editor de el papel se retira cuidadosamente todas las pequeñas islas de su imagen, pensando que eran de tierra! Usted podría acompañar mediante la ejecución de dos algoritmos diferentes (uno que hace un píxel por píxel de cálculo y puntos de colores blanco o negro, haciendo que M parecen desconectados y, por ejemplo, el más estándar de imágenes a color que muestran la conexión de líneas de nivel con bastante claridad), y, por tanto, un punto acerca de los peligros de la computadora de los experimentos y de la importancia de la prueba matemática (si la atención sobre esto).
Por último, yo diría que es una buena idea hablar de la densidad de hyperbolicity. La cuestión de si el interior de cada componente del conjunto de Mandelbrot corresponde a los mapas con una atracción de ciclo es una de las más importantes preguntas abiertas en una dinámica compleja, y, sin embargo, es bastante fácil de entender con un poco de experimentación. Siempre es bueno mostrar a los alumnos que incluso aparentemente inocentes preguntas pueden ser objeto de muy difícil investigación matemática. Por supuesto, esto también es una oportunidad para mencionar que la densidad de hyperbolicity en el caso real (es decir, la densidad de período de windows en el diagrama de bifurcación) fue establecido en la década de los 90, y fue un importante matemático avance.
Me doy cuenta de que hay mucho aquí, y se puede ir más allá de lo que estaban buscando, por lo que elegir!
