Demuestre que una secuencia de funciones es diferenciable.

Question

Dejemos que $f_n$ : $\mathbb R$ $\to$ $\mathbb R$ sea la secuencia de funciones definida por: $$f_n(x) = \begin{cases} {nx^2\over 1+nx}, & \text{if $x \ge 0$} \\ {nx^3\over 1+nx^2}, & \text{if $x \lt 0$} \end{cases}$$

Demostrar que $f_n$ es diferenciable y que $f'_n$ es continua para todo $n \in \mathbb N$

Answer 1

Una pista: El único punto que podría resultar problemático (no lo es) es $x=0$ donde el $f_n$ cambian de tipo. Así que

1. Mostrar $$\lim_{x\to0^-}f_n(x)=\lim_{x\to0^+}f_n(x)$$ (lo cual es cierto, ya que ambos son iguales a $0$ ).
2. Demuestra que $$\lim_{h\to 0^-}\frac{f_n(h)}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{f_n(h)}{h}$$ Desde $f_n(0)=0$ por la observación anterior, se trata de la derivada (si ambos límites coinciden) en $x=0$ .
3. En todos los demás puntos $x\neq0$ el $f_n$ son diferenciables como polinomios. Calcula la derivada (estándar) y demuestra que $$\lim_{x\to 0^-}f'_n(x)=f_n'(0)=\lim_{x\to0^+}f'_n(x)$$ donde $f_n'(0)$ es lo que encontró en el paso 3. anterior. Esto muestra que $f'_n$ es continua.

En las pruebas anteriores $n$ es fijo y los resultados no dependen de $n$ . Por lo tanto, esto es válido para todos $n\in \mathbb N$ como deberías mostrar.