Encontrar la longitud de un lado del trapecio cíclico si se da la longitud de dos lados adyacentes y la diagonal entre ellos.

Question

Estoy resolviendo algunos problemas de práctica para preparar una oposición . Aquí hay uno que estoy tratando de hacer desde hace algún tiempo, pero todavía no he encontrado una solución a :

" $ABCD$ es un trapecio cíclico donde $AB$ es paralelo a $CD$ . Si $AB = 4 , AD = 5 , BD = 7 $ encontrar la longitud de $CD$ ."

Aquí está el dibujo que hice :

En realidad hice la construcción en papel y conseguí que $CD$ está cerca de 6 , Pero no tengo ni idea de cómo resolver realmente el problema. ¿Hay algún resultado especial para los trapecios cíclicos que tenga que utilizar aquí? Por favor, ayuda.

Answer 1

Tenga en cuenta que $BC=5$ y $AC=7$ . Que nuestro lado desconocido sea $x$ . Entonces por Teorema de Ptolomeo, $$7\cdot 7=4x+5\cdot 5.$$

Observación: Podríamos haber utilizado una maquinaria más básica (triángulos similares). Sin embargo, el Teorema de Ptolomeo aparece en muchos problemas sobre cuadriláteros cíclicos, y puede considerarse un conocimiento esencial.

Una cosa interesante sobre el teorema es que fue utilizado por Ptolomeo para aplicado fines. Era principalmente un astrónomo, y utilizó el teorema como herramienta para elaborar una "Tabla de acordes", precursora de las tablas de la función seno.