Geometría algebraica (semi) riemanniana ?

Question

Espero que no sean preguntas demasiado vagas para MO.

¿Existe un análogo del concepto de métrica riemanniana en la geometría algebraica?

Por supuesto, transportando las cosas literalmente desde el contexto geométrico diferencial, tenemos que olvidarnos de la noción de definición positiva, porque un campo desnudo no tiene ordenación. Así que quizás estemos buscando un análogo geométrico algebraico de semi Geometría riemanniana.

Supongamos que consideramos un par $(X,g)$ , donde $X$ es una variedad (quizás suave) y $g$ es una sección no degenerada de la segunda potencia simétrica del haz tangente (o gavilla) de $X$ .

¿Qué se puede decir de esta estructura? ¿Pueden reproducirse algunos resultados de la GD en este contexto? ¿Existe bibliografía al respecto?

Answer 1

Hace un par de años, Joel Kamnitzer planteó una pregunta muy parecida, que suscitó un bonito debate en el Seminario secreto de blogging . Me temo que nadie acabó citando ninguna bibliografía, y no he podido encontrar nada con una búsqueda rápida en Google, pero eso no descarta la posibilidad de que exista.

Answer 2

Si una métrica riemanniana holomorfa $g=g_{ij}(z) dz^i dz^j$ en una variedad compacta de Kaehler $X$ es en todas partes no degenerada, entonces la métrica tiene una conexión Levi-Civita holomorfa, por lo que la clase Atiyah del haz tangente de $X$ es cero. Por lo tanto, una cubierta etale finita de $X$ es un toroide complejo, y la métrica se retrae para ser invariante de la traslación. Por tanto, $X$ es un cociente de dicho toro por un grupo finito que actúa como isometrías afines sin puntos fijos. Por otro lado, si se permiten degeneraciones de la métrica holomórfica de Riemann, supongo que podría pasar cualquier cosa. Si se permite $X$ para ser una variedad compleja compacta, tal vez no Kaehler, entonces usted podría mirar los documentos de Sorin Dumitrescu donde se encuentra una clasificación de baja dimensión.

Answer 3

Este tema en el caso afín está ampliamente estudiado en el libro inédito de Ernst Kunz "Cálculo diferencial algebraico". Puedes conseguirlo como una colección de varios archivos PS en su página web (desplázate hasta el final):

Página web de Kunz

Answer 4

También es bastante natural observar la estructura conforme holomórfica dada localmente por las métricas holomórficas de Riemann hasta la multiplicación por funciones invertibles. Más precisamente, una estructura conforme holomorfa viene dada por una sección no degenerada en ninguna parte $\omega \in H^0(X,Sym^2\Omega^1_X \otimes \mathcal L)$ donde $\mathcal L$ es un haz de líneas.

La clasificación de las estructuras conformes holomórficas en superficies complejas compactas es realizada por Kobayashi y Ochiai en Holomorphic structures modeled after hyperquadratics, Tohoku Math. J. 34, 587-629 (1982).

También hay una clasificación en el caso de la proyectiva $3$ -se pliega en este papel .