Creo que hay dos preguntas aquí, no sólo uno. A saber:
Pregunta 1.
Dados dos puntos $x,y$ en un separables compacto Hausdorff espacio de $X$, podemos encontrar dos conjuntos de $V,U$ $X$ y una función continua $f:X\to\mathbb R$ que satisfagan las condiciones dadas por el OP.
Pregunta 2.
Dados dos puntos $x,y$ en un compacto Hausdorff espacio de $X$, podemos encontrar dos conjuntos de $V,U$ $X$ y una función continua $f:X\to\mathbb R$ que satisfagan las condiciones dadas por el OP. (Que es, en esta versión el espacio $X$ no está obligado a ser separables.)
En consecuencia, doy dos respuestas.
Pregunta 1. Respuesta sí (y es suficiente para suponer $X$ es ccc).
Pregunta 2. Respuesta no, no necesariamente. (Por ejemplo, la respuesta es no para $X=H^*$, el resto de los Stone-Cech compactification de la mitad de la línea de $[0,\infty)$,
aunque sí es para $X=[0,\omega_1]$, como se explica en más detalle a continuación.)
Separables caso. Si la pregunta es sobre separables compacto Hausdorff espacios, entonces la respuesta es sí. Es suficiente para suponer que el más débil condición de que $X$ es un compacto Hausdorff espacio que es de la ccc, lo que significa que cada discontinuo colección de no-vacío abierto conjuntos es en la mayoría de los contables. (Cada separable espacio es, en general, de la ccc, el espacio, como se comprueba fácilmente, pero no viceversa.)
Pick $x,y\in X$ $x\not=y$ donde $X$ es un separables compacto Hausdorff espacio que es de la ccc. A continuación, $X$ es normal y, por lo tanto, hay una continua $h:X\to[-2,2]$ con $h(x)=2$, $h(y)=-2$. El uso de $h$ definir $g:X\to[-1,1]$ $g(z)=-1$ si $h(z)\le-1$, $g(z)=1$ si $h(z)\ge1$, e $g(z)=h(z)$ si $h(z)\in(-1,1)$. Es fácil ver que $g$ es continua con $g(x)=1$, $g(y)=-1$. Deje $U=h^{-1}([-2,-1))$$V=h^{-1}((1,2])$. A continuación, $V$ $U$ están abiertas, con $x\in V$, $y\in U$, $g(V)=1$, $g(U)=-1$.
No debe ser $s\in(-1,1)$ tal que $g^{-1}(s)$ ha vacío interior (de lo contrario la colección de $\{{\mathrm{Int}}\, g^{-1}(t):t\in(-1,1)\}$ sería una innumerable colección de pares disjuntos no vacíos abrir sets, contradiciendo ese $X$ es de la ccc.) (No descartamos la posibilidad de que $g^{-1}(s)$ sí está vacío, pero eso no cambia el resto de nuestro argumento.)
Fix $s\in(-1,1)$ tal que $g^{-1}(s)$ ha vacío interior. Deje $\gamma:[-1,1]\to[-1,1]$ ser monótona creciente (piecewise linear y) continua la función que corrige los extremos (es decir,$\gamma(-1)=-1$$\gamma(1)=1$), y $\gamma(s)=0$. Deje $f=(\gamma\circ g) : X\to [-1,1]$.
Entonces $f(x)=1$, $f(y)=-1$, $f(V)=1$, $f(U)=-1$, y $f^{-1}(0)=g^{-1}(s)$ ha vacío interior.
No separables caso. Si la pregunta es acerca de los espacios compactos que no necesariamente son separables, entonces la respuesta es no (como se sentía por el OP, y como se sugiere en uno de mis comentarios anteriores). (Como aclaración que se le solicite por el comentario a mi respuesta, en este caso el $V,U$ $f$ no, en general, existe, aunque puede que a veces existe, incluso para los no-separables espacios.)
Deje $H^*$ ser el de Stone-Cech resto de la mitad de la línea de $H=[0,\infty)$. A continuación, $H^*$ es compacto y conectado, y tiene la propiedad de que todos los no-vacía $G_\delta$ conjunto no vacío interior. Ver esta respuesta por Alejandro Vignati y Adam Przeździecki que borran mi confusión al respecto (véase también la respuesta de los LOTES caso de Eric Wofsey
y la respuesta por parte de Joseph Van de Nombre casi $P$-espacios, y quizás más comentarios o respuestas que vienen de allí).
Vamos a demostrar que la respuesta es no siempre $X$ es cualquier compacto, conectado, espacio de Hausdorff (con al menos dos puntos) en la que todos los no-vacía $G_\delta$ conjunto no vacío interior. Tomar cualquiera de los dos diferentes puntos de $x,y\in X$ y cualquier función continua $f:X\to(-\infty,\infty)$, $f(x)=1$, $f(y)<0$. Desde $f(X)$ está conectado, se deduce que el $0\in f(X)$ $f^{-1}(0)$ no está vacío. También, $f^{-1}(0)=\bigcap_{n\ge1}\, f^{-1}((\frac{-1}n,\frac1n))$$G_\delta$. Por lo tanto
$f^{-1}(0)$ tiene un no-vacío interior. Desde los puntos de $x,y$ y la función continua $f$ fueron arbitrarias, esto responde a la pregunta negativamente. (Para ser más específico, al $X=H^*$ $x,y\in X$ son dos puntos diferentes, a continuación, $U,V$ $f$ tal y como pide el OP, no existen. No pudimos encontrar $f$ tal que $f^{-1}(0)$ ha vacío interior, incluso si hacemos caso omiso de las condiciones sobre $U,V$.)
Edit. Pregunte por los comentarios, parece que mi respuesta necesita aclaración (aunque lo anterior es correcto). Es decir, la respuesta es, en general, no, es decir, si $x,y$ son dos puntos en un compacto Hausdorff espacio de $X$ no podemos concluir la existencia de $V,U$ $f$ tal y como pide el OP. Si $X$ es además separables (o, más en general, si $X$ es ccc), entonces sí, podríamos encontrar $V,U$$f$.
Lo que ocurre es que para algunos $X$ que no son separables, podríamos encontrar $V,U$$f$. Por ejemplo supongamos $X=[0,\omega_1]$ ser el espacio de todos contables ordinales junto con la primera innumerables ordinal, con el fin de topología. A continuación, $X$ es compacto y no separable. Si $x,y\in X$ $x<y$ $V=[0,x]$ $U=(x,\omega_1]=[x+1,\omega_1]$ son disjuntas cerrado y abierto barrios de $x$ $y$ respectivamente, con $X=V\cup U$. Si definimos $f(v)=1$ por cada $v\in V$, e $f(u)=-1$ por cada $u\in U$, $f$ es continua con $f^{-1}(\{0\})$ está vacía, en particular, que tiene vacío interior. Así que todas las condiciones impuestas por la OP son satisfechos por esta elección particular de $X=[0,\omega_1]$. Pero, a menos que la respuesta es sí para cada elección de $X$$x,y$, entonces la respuesta es, en general, no. La respuesta es no para $H^*$ (como se discutió anteriormente), por lo tanto la respuesta es no.
