Cuando enseñaba Teoría de la Medida el año pasado, me convencí de que una medida finita definida en los subconjuntos de Borel de un espacio métrico (compacto; ¿completo separable?) era automáticamente regular. Utilicé la Jerarquía de Borel y alguna inducción transfinita. Pero, típicamente, he perdido los detalles.
Entonces: ¿es esto cierto? ¿Son ciertas las preguntas relacionadas? ¿Cuáles son algunas buenas fuentes para este tipo de preguntas? Como motivación, un estudiante me señaló http://en.wikipedia.org/wiki/Lp_space#Dense_subspaces donde se afirma (sin referencia) que (hasta un ligero cambio de definición) el resultado es cierto para las medidas de Borel finitas en cualquier espacio métrico.
(Normalmente sólo me interesan los espacios de Hausdorff localmente compactos, para los que, por ejemplo, el "Análisis real y complejo" de Rudin responde a estas preguntas de forma satisfactoria. Pero aquí estoy preguntando más por los espacios métricos).
Para aclarar, algunas definiciones (¡gracias Bill!):
- Supongo que por "Borel" quiero decir: la sigma-álgebra generada por los conjuntos abiertos.
- Una medida $\mu$ es "exteriormente regular" si $\mu(B) = \inf\{\mu(U) : B\subseteq U \text{ is open}\}$ para cualquier B de Borel.
- Una medida $\mu$ es "regular interior" si $\mu(B) = \sup\{\mu(K) : B\supseteq K \text{ is compact}\}$ para cualquier B de Borel.
- Una medida $\mu$ es "Radon" si es interiormente regular y localmente finito (es decir, todos los puntos tienen una vecindad de medida finita).
Así que no creo que me interesen del todo las medidas de Radon (bueno, sí, pero eso no responde del todo a mi pregunta): en particular, el enlace original de Wikipedia (sobre los espacios L^p) parece afirmar que cualquier medida finita de Borel sobre un espacio métrico es automáticamente regular exterior, e interior en el sentido más débil con K sólo cerrado.
