Medidas regulares de Borel en espacios métricos

Question

Cuando enseñaba Teoría de la Medida el año pasado, me convencí de que una medida finita definida en los subconjuntos de Borel de un espacio métrico (compacto; ¿completo separable?) era automáticamente regular. Utilicé la Jerarquía de Borel y alguna inducción transfinita. Pero, típicamente, he perdido los detalles.

Entonces: ¿es esto cierto? ¿Son ciertas las preguntas relacionadas? ¿Cuáles son algunas buenas fuentes para este tipo de preguntas? Como motivación, un estudiante me señaló http://en.wikipedia.org/wiki/Lp_space#Dense_subspaces donde se afirma (sin referencia) que (hasta un ligero cambio de definición) el resultado es cierto para las medidas de Borel finitas en cualquier espacio métrico.

(Normalmente sólo me interesan los espacios de Hausdorff localmente compactos, para los que, por ejemplo, el "Análisis real y complejo" de Rudin responde a estas preguntas de forma satisfactoria. Pero aquí estoy preguntando más por los espacios métricos).

Para aclarar, algunas definiciones (¡gracias Bill!):

• Supongo que por "Borel" quiero decir: la sigma-álgebra generada por los conjuntos abiertos.
• Una medida $\mu$ es "exteriormente regular" si $\mu(B) = \inf\{\mu(U) : B\subseteq U \text{ is open}\}$ para cualquier B de Borel.
• Una medida $\mu$ es "regular interior" si $\mu(B) = \sup\{\mu(K) : B\supseteq K \text{ is compact}\}$ para cualquier B de Borel.
• Una medida $\mu$ es "Radon" si es interiormente regular y localmente finito (es decir, todos los puntos tienen una vecindad de medida finita).

Así que no creo que me interesen del todo las medidas de Radon (bueno, sí, pero eso no responde del todo a mi pregunta): en particular, el enlace original de Wikipedia (sobre los espacios L^p) parece afirmar que cualquier medida finita de Borel sobre un espacio métrico es automáticamente regular exterior, e interior en el sentido más débil con K sólo cerrado.

Answer 1

El libro Medidas de probabilidad en espacios métricos de K. R. Parthasarathy es mi referencia estándar; contiene un gran subconjunto del material de Convergencia de las medidas de probabilidad por Billingsley, ¡pero es mucho más barato! Parthasarathy demuestra que toda medida de Borel finita sobre un espacio métrico es regular (p.27), y que toda medida de Borel finita sobre un espacio métrico completo separable, o sobre cualquier subconjunto de Borel del mismo, es ajustada (p.29). La estanqueidad tiende a fallar cuando se elimina la separabilidad, aunque no conozco ningún ejemplo de antemano.

(Definiciones utilizadas en el libro de Parthasarathy: $\mu$ es regular si para cada conjunto medible $A$ , $\mu(A)$ es igual a la suma de las medidas de subconjuntos cerrados de $A$ y el ínfimo de los superconjuntos abiertos de $A$ . Llamamos $\mu$ apretado si $\mu(A)$ es siempre igual a la suma de las medidas de compacto subconjuntos de $A$ . Algunos otros textos utilizan "regular" para significar "regular y apretado", por lo que hay cierto margen de confusión en este caso).

Answer 2

Todo espacio discreto es un espacio métrico. Si consideramos un espacio medible cardinal $\kappa$ como un espacio discreto, entonces tiene un ultrafiltro $\mathcal{F}$ en la que la intersección de menos de $\kappa$ elementos de $\mathcal{F}$ se encuentra en $\mathcal{F}$ . Hay una medida sobre $\kappa$ tal que $\mu(A)=1$ o $0$ en función de si se trata o no de $A\in\mathcal{F}$ . Para cada conjunto finito conjunto $\mu(A)=0$ . Pero todo conjunto compacto es finito por lo que $\mu(A)=0$ para cada compacto $A$ . Pero $\mu(\kappa)=1$ y así $\mu$ no es regular interiormente.

Answer 3

Esta es una razón por la que parece difícil encontrar un ejemplo de una medida de probabilidad no estricta en un espacio métrico completo:

Teorema: Sea X un espacio métrico completo. Denotemos por w(X) la menor cardinalidad de una base de la topología sobre X. Entonces existe una medida de probabilidad no estricta sobre la clase de subconjuntos borel de X si w(X) es un cardinal medible (es decir, existe una medida no atómica sobre el conjunto de potencias de w(X)).

Se puede encontrar una prueba en la teoría de la medida de Fremlin, volumen 4, página 244.

Answer 4

Sea X un espacio métrico. Entonces toda medida de Borel μ sobre X es regular (es decir, para todo conjunto de Borel B y todo ε > 0, existe un conjunto cerrado $F_ε$ tal que $F_ε ⊂ B$ y μ(B\\N) $F_ε$ ) < ε). Si X es completo y separable, entonces la medida μ es Radon (es decir, para todo conjunto Borel B y ε > 0, existe un conjunto compacto $K_ε$ ⊂ B tal que μ(B\) $K_ε$ ) < ε).

Este resultado se demuestra en la página 70 de "Measure Theory" vol. 2, Springer-Verlag, Berlín 2007, por V. I. Bogachev (Teorema 7.1.7.) En la misma página se ofrece un ejemplo de una medida regular de Borel que no es ajustada (Ejemplo 7.1.6).

P.D. Sólo un comentario sobre la respuesta de Ian Morris: la estanqueidad de una medida regular de Borel sobre X puede fallar incluso si X es un espacio métrico separable . Por ejemplo, podemos tomar una restricción de la medida estándar de Lebesgue a un subconjunto no medible del intervalo $[0, 1]$ con medida interior nula y medida exterior unitaria (dotada de la métrica habitual).

Answer 5

Creo que estás preguntando por las medidas (finitas) de Radón, Matt. Véase

http://en.wikipedia.org/wiki/Radon_measure