Cómo encontrar un límite superior del conjunto $A= \{ (1+\frac{1}{n})^n : n \in \mathbb{N}^{*} \}$

Question

Tengo el juego $A= \{(1+\frac{1}{n})^{n} : n \in \mathbb{N}^* \}$ y el ejercicio me pide que encuentre al menos $2$ límite superior menos igual a $\frac{14}{5}$ .

Mi primera pregunta es, ¿cómo puedo saber $\frac{14}{5}$ es un límite superior de $A$ ?

Mi intento es mostrar no existe $m \in \mathbb{N}^*$ tal que $(1+\frac{1}{m})^{m} = \frac{14}{5}$ pero estoy atascado, para los otros números del límite superior, ¿podría razonar de la misma manera?

Gracias por las sugerencias

Answer 1

Si no se le permite utilizar la definición de $e$ entonces observando que los términos de la secuencia están limitados por (refiérase a este ) $$\begin{align}\left(1+\frac 1n\right)^n&=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left(\frac 1n\right)^k\\&=\sum_{k=0}^{n}\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\left(\frac 1n\right)^k\\&=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\left(1-\frac 1n\right)\left(1-\frac 2n\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\\&\lt \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\\ &=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3\cdot 2}+\frac{1}{4\cdot 3\cdot 2}+\cdots+\frac{1}{n\cdot(n-1)\cdots 2}\\ &\lt 1+\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\\&=3-\frac{1}{2^{n-1}}\\&\lt 3\end{align}$$ Ahora para obtener un límite más estricto, ya que $$\frac{1}{2^1} + \frac{1}{3\cdot 2}+\frac{1}{4\cdot 3\cdot 2}+\cdots+\frac{1}{n\cdot(n-1)\cdots 2} < \frac {1}{2} \left( 1+\frac{1}{2^0}+\frac{1}{3^1}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{3^{n-1}} \right)$$ tenemos $$\left(1+\frac 1n\right)^n < 1 + \frac{1}{2^0} + \frac {1}{2} \left(\frac{1}{3^0}+\frac{1}{3^1}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{3^{n-1}} \right) < 2 + \frac{1}{2} \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{11}{4} < \frac{14}{5}$$ según sea necesario.

Answer 2

Primero debes saber que: $$(1) \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$$ Considere también que ln es una función inyectiva, lo que significa que si $\ln(A)=1$ entonces $A=e$
Así que: $$\lim_{n\to\infty} \ln(A) = \lim_{n\to\infty} \ln((1+\frac{1}{n})^n = \lim_{n\to\infty} n\ln(1+\frac{1}{n})$$ Aplicando (1): $$\lim_{n\to\infty} n\ln(1+\frac{1}{n}) = \lim_{n\to\infty} n(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+O(\frac{1}{n^3}))$$ $$\lim_{n\to\infty} n(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+O(\frac{1}{n^3})) = \lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{2n}+nO(\frac{1}{n^3})) = 1$$ Desde $$\lim_{n\to\infty} \ln(A) = 1$$ Que $$\lim_{n\to\infty} A = e$$ Por tanto, e es el límite superior mínimo y cualquier número mayor que e es un límite superior (Nota: $\frac{14}{5} > e$ )

Answer 3

En realidad, el límite superior de esta secuencia es la definición estándar de $e$ . Más formalmente, $$e=\lim_{n\to\infty} (1+{1\over n})^n\approx 2.71828182846$$ Rechazar $14\over 5$ como un límite superior, observe que $e< 14/5$ .