Estoy tratando de responder a la segunda pregunta. La mayoría de los resultados se pueden encontrar en el documento conjunto con Guilbault https://arxiv.org/abs/1712.05995 . Aquí sólo quería hacer un rápido resumen. Un $m$ -manifold $M^m$ con límite (posiblemente vacío) es Completable si existe una variedad compacta $\widehat{M^m}$ y un compactum $C \subseteq \partial \widehat{M^m}$ tal que $\widehat{M^m}-C$ es homeomorfo a $M^m$ . En este caso $\widehat{M^m}$ se llama (colector) finalización de $M^m$ . Se puede cambiar el homeomorfismo por difeomorfismo o PL homeo. para otras categorías.
Dim = 0,1 son evidentes.
Dim = 2, no podemos encontrar una clasificación completa en la literatura, por lo que proporcionamos un teorema en ese documento. Es decir, un manifold conectado de 2 dimensiones es completo si tiene una primera homología finitamente generada. Esto se basa principalmente en el trabajo clásico de Kerekjarto y Richards.
Dim = 3, se debe principalmente a Tucker donde demostró que un 3manifold puede ser completado si y sólo si cada componente de cada vecindad limpia del infinito tiene un grupo fundamental finitamente generado.
Permítanme hablar de las dimensiones $\geq 6$ primero. Luego volveré a las dimensiones 4 y 5. El primer avance en relación con este problema se debió a Siebenmann en 1965. En su tesis doctoral, demostró que un n-manifold abierto $M^n$ es completa (en ese momento se llamaba "collarizable") si (1) M es dócil hacia dentro, (2) el final es pro- $\pi_1$ estable y (3) la obstrucción de finitud de Wall del final desaparece. En 1983, O'Brien generalizó el teorema a las variedades de un solo extremo con límites posiblemente no vacíos.
En nuestro trabajo, dejamos de lado la suposición de O'Brien de que las variedades son de un solo extremo. Generalizando adecuadamente las condiciones de Siebenmann, demostramos que las variedades de dimensión al menos 6 son completables si son mansas hacia dentro, periféricas $\pi_1$ -estable en el infinito, de torsión nula de Wall y Whitehead. Nuestra demostración se basa en las variedades PL, pero se pueden emplear técnicas estándar como el "redondeo de esquinas" para manejar las otras catergorías.
Nuestro teorema sigue siendo cierto en dimensión = 5 siempre que los grupos fundamentales sean buenos en el sentido de Freedman y Quinn.
El teorema falla en dimensión = 4. Kwasik-Schultz y (independientemente) Weinberger descubrió que existen 4 manifoldes abiertos que satisfacen la condición de Siebenmann pero que no son collarizables.
Sólo un comentario rápido sobre la referencia de Ian a un colector abierto contraíble $M'$ construido por Kister-McMillan que no se incrusta en $S^3$ . El ejemplo fue propuesto por primera vez por R. H. Bing. Haken demostró además que $M'$ no se incrusta en ningún 3-manifold usando su teorema de finitud. Recientemente, he demostrado que $M'$ no puede incrustarse en ningún espacio métrico compacto, localmente conectado y localmente 1. https://arxiv.org/abs/1809.02628
