Teorema de compactación de las variedades diferenciables ?

Question

Sólo un paralelismo este pregunta, que parecía no admitir una respuesta fácil en absoluto, vamos a "suavizar" la categoría y preguntar lo mismo en el caso de $\mathcal{C}^{\infty}$ -Variedades diferenciables [Editar: consideramos sólo las variedades sin límite].

Bueno, pues:

¿Es toda variedad diferenciable difeomorfa a un submanifold abierto de una compacta?

Editar: Como han señalado algunos comentarios, hay variedades para las que falla el teorema de compactación, por lo que alguien ha sugerido cambiar la pregunta por la más significativa:

¿Qué variedades diferenciables son difeomorfas a un submanifold abierto de uno compacto?

Answer 1

No. Una superficie de género infinito no es un submanifold de una superficie compacta.

Answer 2

Existen 3manifolds contráctiles que no pueden incrustarse en ningún 3manifold compacto. Kister y McMillan construyó una variante del colector de Whitehead $M'$ que es contraíble pero que no puede incrustarse en $S^3$ . A partir del teorema de Geometrización, la cubierta universal de cualquier 3manifiesto compacto se incrusta en $S^3$ . Así que si $M'$ incrustado en un 3manifold compacto $M'\subset M$ su ascensor $M'\subset \widetilde{M}\subset S^3$ a la cubierta universal daría una contradicción.

Answer 3

Como todos han dicho, la respuesta es "no". Tienes que hacer suposiciones para asegurarte de que los "extremos" de tu colector son lo suficientemente simples. Parece difícil de encontrar usando las referencias que Paul publicó, pero el resultado clave sobre esto es la tesis de Larry Siebenmann. Creo que nunca se publicó, pero está disponible en la página web de Andrew Ranicki aquí . Otra fuente (también en la página web de Ranicki) para esto son unas notas de clase de Kervaire, disponibles aquí .

Por cierto, una condición necesaria obvia es que tu colector tenga un grupo fundamental finitamente presentable (este es uno de los problemas del ejemplo de Richard). Un ejemplo clásico para demostrar que esto no es suficiente (incluso en dimensión 3) es el Colector Whitehead .

EDIT : También debo señalar una hermosa reciente sobre esto. La conjetura de Marden (recientemente demostrada de forma independiente por Agol y Calegari-Gabai) dice que si M es un 3-manifoldes hiperbólicos con grupo fundamental finitamente generado, entonces M es homeomorfo al interior de un 3-manifoldes compacto. El colector de Whitehead mencionado anteriormente muestra que la suposición de que M es hiperbólico es necesaria.

Answer 4

Hay una larga historia sobre este problema, empezando, en dimensiones>4 con Browder-Levine-Livesay:

http://www.jstor.org/stable/2373259?origin=crossref

http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=189046

Siga a MR para llegar a los resultados en las dimensiones 3,4, etc. Primero hay que eliminar problemas como los que menciona Richard usando obstrucciones de finitud.

Answer 5

Creo que ninguno de los posts anteriores responde a la pregunta "¿es toda colector diferenciable difeomorfa a un submanifold abierto de uno compacto?". Más bien responden a "¿es toda colmena diferenciable difeomorfa al interior de una compacta?". La razón de la confusión podría ser que esta última pregunta es fundamental en topología geométrica, mientras que la primera tiene poca importancia. En fin,

La suma conectada $V$ de infinitas copias de $CP^3$ no es difeomorfo a un subconjunto abierto de una variedad compacta.

EDIT: Me quito el sombrero ante Torsten Ekedahl, que ha señalado en los comentarios que mi argumento a continuación es incorrecto (por lo que no sé si la afirmación anterior sobre $V$ es cierto). He decidido no borrarlo porque ilumina algunas sutilezas de la pregunta original.

La cuestión es que cualquier difeomorfismo sobre un subconjunto abierto hace retroceder el haz tangente, y en particular, hace retroceder la primera clase de Pontryagin $p_1$ . Por lo tanto, si $V$ es un subconjunto abierto de una variedad compacta $M$ y luego su primera clase Pontryagin $p_1(V)$ se encuentra en la imagen de $H^4(M)\to H^4(V)$ que es un generado finitamente subgrupo de $H^4(V)$ que es el producto infinito de $\mathbb Z$ correspondientes a los generadores de $H^4(CP^3)$ . La primera clase Pontryagin de $CP^3$ es un múltiplo de un generador de $H^4(CP^3)\cong\mathbb Z$ y eliminando un conjunto finito de puntos de $CP^3$ no afecta al $4$ el esqueleto, por lo que $p_1(V)$ no se encuentra en un subgrupo finitamente generado de $H^4(V)$ .

Tengo curiosidad por ver las respuestas de baja dimensión a la pregunta "¿es toda variedad diferenciable difeomorfa a un submanifold abierto de uno compacto?"