Ayuda con la prueba sobre el número máximo de valores propios

Question

Estoy trabajando en mi camino a través de Álgebra lineal bien hecha . Para ayudar con una prueba, quiero demostrar lo siguiente:

Dado $\mathbf{V}$ un espacio vectorial y $T$ un operador lineal sobre ella, entonces:

Si $\mathbf{W}_1$ y $\mathbf{W}_2$ son subespacios de $\mathbf{V}$ tal que:

1. $\mathbf{V}$ es una suma directa de $\mathbf{W}_1$ y $\mathbf{W}_2$ .

2. $\mathbf{W}_1$ y $\mathbf{W}_2$ son invariantes bajo $T$ .

3. La restricción de $T$ a $\mathbf{W}_1$ tiene como máximo $k$ valores propios.

4. La restricción de $T$ a $\mathbf{W}_2$ tiene como máximo $p$ valores propios.

Entonces $T$ tiene como máximo $k+p$ valores propios.

He hecho un esbozo de una prueba utilizando determinantes, pero se basaba en conocimientos antiguos sobre las propiedades de los determinantes con respecto a los valores propios, así que puede que no sea correcta. Sin embargo, el libro no hace hincapié en su uso, y tal vez haya una prueba de esto sin usar determinantes.

He intentado una prueba por contradicción, tratando de encontrar algo raro al suponer que T puede tener más de $k+p$ valores propios, pero no he podido encontrar nada.

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Una pista: Supongamos que $\lambda$ es un valor propio. Entonces existe un vector propio $\mathbf{v}$ correspondiente a $\lambda$ . Escribe $\mathbf{v}=\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2$ ya que $\mathbf{v}$ es distinto de cero, al menos uno de $\mathbf{w}_1$ y $\mathbf{w}_2$ es distinto de cero.

Ahora, evalúe $T(\mathbf{v})$ ya que $\mathbf{V}$ es un suma directa y cada $\mathbf{W}_i$ es invariable, ¿qué se puede decir de $T(\mathbf{w}_1)$ y $T(\mathbf{w}_2)$ ?

Answer 2

Sugerencia : $ker(T) = ker(T|W_1)\ \oplus\ ker(T|W_2)$ .

Aquí $ker$ significa núcleo, $T|W_i$ significa $T$ restringido a $W_i$ etc En realidad hay que hacerlo con la transformación $T -\lambda I$ en lugar de $T$ .