¿Por qué una incrustación es una inmersión inyectiva?

Question

Mi curso sobre colectores define una incrustación de la siguiente manera:

Un mapa suave $f:\mathcal{M}\rightarrow\mathcal{N}$ entre colectores $\mathcal{M}$ de dimensión $m$ y $\mathcal{N}$ de dimensión $n$ es un incrustación si es un difeomorfismo sobre su rango. Nos referimos al rango, $f(\mathcal{M})$ de dicho mapa, como un submanifold de $\mathcal{N}$ .'

Debajo de la definición, dice "claramente, cualquier incrustación es una inmersión inyectiva", pero me cuesta ver por qué es así. La inyectividad se deduce del hecho de que cualquier difeomorfismo es biyectivo, pero ¿por qué se deduce la parte de la inmersión? ¿Por qué $f$ siendo un difeomorfismo sobre su rango implica que la derivada $d_xf$ es inyectiva para todo $x\in\mathcal{M}$ ? ¿Tiene que ver con $d_xf$ ¿tiene un inverso a la izquierda?

He tratado de considerar un argumento de dimensión pero esto me ha confundido aún más, así que tengo una segunda pregunta: vemos el $d_xf$ como un mapa lineal de $T_x\mathcal{M}$ a $T_{f(x)}\mathcal{N}$ que puede representarse como un $n\times{m}$ ya que la dimensión de un espacio tangente es igual a la dimensión de su correspondiente colector. Pero ¿no podríamos considerar igualmente $d_xf$ como un mapa lineal de $T_x\mathcal{M}$ a $T_{f(x)}f(\mathcal{M})$ ? Esto se puede representar como un $m\times{m}$ ya que la dimensión de $f(\mathcal{M})$ es igual a la dimensión de $\mathcal{M}$ (¿los difeomorfismos preservan la dimensión?). ¿Cuál es la forma correcta de verlo?

Answer 1

Voy a tomar su definición e ir hacia atrás. Vamos a empezar con la definición de un colector. Parece que para usted, un colector significa un subconjunto $M$ de $\Bbb R^n$ tal que para todo $p \in M$ hay un difeomorfismo $\psi: \Bbb R^n \to U$ , $U$ un subconjunto abierto de $\Bbb R^n$ que contiene $p$ , de tal manera que $M \cap U = \psi(\Bbb R^k)$ , donde $\Bbb R^k$ es el subespacio de $\Bbb R^n$ donde sólo la primera $k$ las coordenadas pueden ser distintas de cero.

Ahora, definamos una incrustación de los colectores. Lo que dicen está casi bien - siempre que añadan la frase "tal que $f(M)$ es un colector". Es decir, creo que su definición debería decir "Una incrustación $f: M \to N$ es un mapa suave tal que $f(M)$ es una colector y tal que el mapa $f$ es, entonces un difeomorfismo sobre su imagen". Si no exigimos que $f(M)$ es un colector, esto no tiene sentido. (Para un ejemplo de dónde $f(M)$ no es un colector, tomemos por ejemplo la figura 8: puedo hacer de ella la imagen de una inmersión suave desde el círculo. Veamos también, por ejemplo, la gráfica de |x|, que puedo convertir en la imagen de un mapa suave inyectivo desde $\Bbb R$ - pero no una inmersión).

Nótese, además, que esto contiene la exigencia de que sea una incrustación topológica -un homeomorfismo sobre su imagen-. Una inmersión inyectiva no es suficiente a menos que el mapa sea también adecuado : tome la figura 8 anterior y escríbala como la imagen inyectiva de $\Bbb R$ . (Las dos "colas" de $\Bbb R$ acercarse al punto central desde la parte inferior izquierda y superior derecha). Entonces, evidentemente, no se trata de un homeomorfismo sobre su imagen. Pero los mapas propios inyectivos son automáticamente incrustaciones topológicas en este contexto. (Un caso en el que no conviene considerar los mapas propios: los subconjuntos abiertos de $\Bbb R^n$ como $GL_n(\Bbb R) \subset \text{Mat}(n \times n)$ !)

Teniendo en cuenta esto probemos la afirmación. Primero, más vale que sea inyectiva, porque es una inmersión topológica. ¿Por qué es una inmersión? Volvamos a la definición de difeomorfismo: un difeomorfismo es, en particular, una inmersión. Así que si es un difeomorfismo sobre su imagen, entonces el mapa $M \to f(M)$ es una inmersión; y por el hecho de que $f(M)$ es un colector sentado dentro de $N$ el mapa $f(M) \to N$ es una inmersión. (Si quieres tener cuidado con la prueba de esto, piensa en los gráficos que nos garantizaron en el primer párrafo en la definición de colector, y piensa en cómo implican automáticamente que el mapa de inclusión $f(M) \to \Bbb R^K$ es una inmersión, donde $\Bbb R^K$ es cualquier espacio euclidiano $N$ se sienta dentro).

Answer 2

Tal vez esta explicación sea un poco avanzada, pero la razón es realmente la regla de la cadena, es decir, el hecho de que el haz tangente es functorial: $T(g\circ f) = T(g) \circ T(f)$ y $T(\operatorname{id}_M) = \operatorname{id}_{TM}$ para cualquier mapa suave $f$ y $g$ que puede componer. Observe que por la regla de la cadena $T$ lleva los difeomorfismos a isomorfismos de haces lineales, que por supuesto se restringen a isomorfismos lineales de espacios vectoriales si se fija un punto en la base.