¿Cuándo la dimensión de la fibra es semicontinua superior?

Question

Supongamos que $f\colon X \to Y $ es un morfismo de esquemas. Podemos definir una función sobre el espacio topológico $Y$ enviando $y\in Y$ a la dimensión de la fibra de $f$ en $y$ .

¿Cuándo es esta función semicontinua superior?

Tengo en mente la siguiente aplicación "concreta". Si un grupo algebraico $G$ actúa sobre un esquema $X$ Estoy seguro de que la dimensión del estabilizador es una función semicontinua superior en $X$ (es decir, puede saltar sobre subesquemas cerrados), pero no conozco una prueba. Los estabilizadores de los puntos son las fibras del mapa $\text{Stab}\to X$ en el siguiente cuadrado cartesiano: \begin{equation} \require{AMScd} \begin{CD} \text{Stab} @>>> G \times X \\ @VVV @VV{\alpha}V \\ X @>{\Delta}>> X \times X. \end{CD} \end{equation} donde $\alpha\colon G\times X\to X\times X $ viene dada por $(g,x) \mapsto (g\cdot x,x)$ y $\Delta\colon X\to X\times X $ es el mapa diagonal $x\mapsto (x,x)$ . Sería bueno tener una condición satisfecha por $\alpha\colon G\times X \to X\times X$ que garantice la semicontinuidad superior de la dimensión de la fibra.

Answer 1

Teorema (EGA IV 13.1.3): Sea $f \colon X \to Y$ sea un morfismo de esquemas, localmente de tipo finito. Entonces $$x \mapsto \dim_x(X_{f(x)})$$ es semicontinuo superior.

Corolario (Teorema de la semicontinuidad superior de Chevalley, EGA IV 13.1.5): Sea $f \colon X \to Y$ sea adecuado, entonces: $$y \mapsto \dim(X_y)$$ es semicontinuo superior.

Corolario (SGA3, ??): Que $X/Y$ sea un esquema de grupo, localmente de tipo finito. Entonces $$y \mapsto \dim(X_y)$$ es semicontinuo superior.

Prueba: La dimensión de un esquema de grupo sobre un campo es la misma que la dimensión en la identidad. Así, la función $$y \mapsto \dim(X_y)$$ es la composición de la función continua $y \to e(y)$ y la función semicontinua superior $x \mapsto \dim_x(X_{f(x)})$ .

Con respecto a su solicitud: Las dimensiones de la fibra del esquema del grupo estabilizador Stab/ X es semicontinuo superior, pero la "diagonal" $G \times X \to X \times X$ no siempre tiene esta propiedad (a menos que sea propia, es decir, " $G$ actúa correctamente").

Answer 2

Acabo de descubrir que Shavarevich (segunda edición) tiene una respuesta errónea a esta pregunta. En la sección I.6.3, después del teorema 7 (que es correcto), da el siguiente corolario. Esta cita combina el teorema y el corolario.

Dejemos que $f: X \to Y$ sea un mapa regular entre variedades irreducibles. Supongamos que $f$ es surjective ... Los conjuntos $Y_k := \{ y \in Y: \dim f^{-1}(y) \geq k \}$ están cerradas en $Y$ .

Nótese que esto difiere del verdadero EGA IV 13.1.5 al sustituir "cerrado" por "sobreyectivo". Me imaginé que registraría un contraejemplo aquí, que es ligeramente más público que la creación de un folleto para mi clase.

Nuestro mapa es una composición $X \subset \mathbb{A}^3 \to \mathbb{A}^3 \to Y \subset \mathbb{A}^4$ . Llamaremos a los dos $\mathbb{A}^3$ 's $A$ y $B$ respectivamente.

$X$ es la variedad cuasi-afín $A \setminus \{ (0,\ast,0) \}$ . Trazamos un mapa $A \to B$ por $(x,y,z) \mapsto (x, xy, z)$ . Asignamos el $B$ a $\mathbb{A}^4$ por $(p,q,r) \mapsto (p(p-1), p^2(p-1), q,r)$ . $Y$ es la variedad afín $\{ (a,b,c,d) : a^3 = b(b-a) \}$ . En otras palabras, $Y$ es el producto de una cúbica nodal con $\mathbb{A}^2$ .

Para ver la surjetividad, observe que $X$ golpea cada punto de $B$ donde $p$ es distinto de cero. Los puntos de $B$ donde $p \neq 0$ se dirigen a los puntos de $Y$ donde $(a,b) \neq (0,0)$ . Los puntos $(0,0,c,d)$ en $Y$ son las imágenes de $(1,c,d) \in B$ que a su vez son las imágenes de $(1,c,d)$ en $X$ .

Ahora, veamos $\dim f^{-1}(0,0,0,r)$ . Cuando $r \neq 0$ es la unión de $(1,0,r)$ y $(0, \ast, r)$ tan unidimensional. Cuando $r = 0$ la línea $(0, \ast, 0)$ se borra, por lo que la preimagen es sólo un punto.

Esto sugiere que puede ocurrir algo más bonito si insistimos en que las fibras son irreductibles, o que $Y$ es normal (¿quizás el Teorema Principal de Zariski interviene?) pero no tengo una propuesta de afirmación que hacer.