Campos globales: ¿Cuál es exactamente la analogía entre los campos numéricos y los campos de función?

Question

Nota: Esto surge como un subproducto de la pregunta de Qiaochu "¿Cuáles son los ejemplos de buenos modelos de juguete en matemáticas?"

Parece que hay una filosofía general de que los problemas sobre campos de funciones son más fáciles de tratar que los de campos numéricos. ¿Puede alguien explicar esta analogía entre los campos numéricos y los campos de funciones? No estoy seguro de dónde puedo encontrar información sobre esto. ¿Anillo de enteros siendo dominios Dedekind, campo de residuos finito, RH sobre campos de funciones más fácil de tratar, algo más? Siendo bastante ignorante sobre esta analogía, en realidad ni siquiera estoy convencido de que por qué trabajar sobre campos de funciones "debería" dar ideas sobre cuestiones de campos de números.

Answer 1

Hay una tabla muy bonita en la sección 2.6 de estos notas de un seminario que Bjorn Poonen dirigió en Berkeley hace unos años.

Answer 2

En realidad, ni siquiera estoy convencido de que el hecho de trabajar sobre campos de funciones "deba" aportar conocimientos sobre cuestiones relativas a los campos de números.

Es perfectamente respetable no estar convencido de esto; la analogía tiene una larga historia de "funcionamiento", pero es bastante raro poder demostrar algo sobre campos de números demostrando el enunciado análogo de campos de funciones. Es más común que demuestres algo sobre campos de funciones y la demostración te dé ideas para una demostración análoga sobre campos de números; esto es especialmente probable cuando los actores principales de tu demostración sobre campos de funciones son cosas que aparecen en la columna derecha de la tabla de Poonen (a la que se hace referencia en la respuesta de David Brown).

Y, por supuesto, hay que tener en cuenta que la analogía no es perfecta: Este trabajo de Conrad, Conrad y Helfgott es un buen ejemplo de un fenómeno de campo de funciones que no debería ocurrir sobre un campo de números.

Answer 3

Claro, aquí hay un resumen.

Supongamos que tenemos un anillo R sobre un campo k, entonces, por la magia de la geometría algebraica, podemos pensar en él de forma geométrica. Esto se hace definiendo los puntos como epimorfismos R \to k y descubriendo que muchas intuiciones geométricas se cumplen bien.

Ahora bien, si empiezas con un campo, el procedimiento anterior te da un solo punto, por lo que es más interesante encontrar el anillo dentro de él - la gente suele tomar el anillo de enteros dentro del campo, que está definido de forma única.

Ahora bien, lo sorprendente es que se puede realizar este mismo procedimiento tanto en campos numéricos como Q o en campos de función como F_p(t) y te da una estructura geométrica muy similar.

Por ejemplo, se puede hablar de la terminación de su anillo por algún ideal máximo y esto corresponde a considerar la geometría infinitesimal alrededor de un solo punto. En el caso de los campos numéricos, sería algo así como Q_p mientras que para los campos de función sería F_p[[t] ]. No si se piensa en cómo Q_p es básicamente F_p formalmente extendida por p se nota que las técnicas trabajan igual en ambos casos.

Por ejemplo, la teoría de la ramificación es básicamente la teoría de la extensión de F_p[[t]] o Q_p. (Sin embargo, hay diferencias importantes - F_p[[t]] puede ampliarse con F_{p^2}[[t]] )

Answer 4

Desde el punto de vista de la teoría de la valoración, ambos tipos de campos son (casi) iguales. Si comparamos Q con F _p [X], entonces el conjunto de todos los valores absolutos (de valor real) en estos campos está formado por las valoraciones p-ádicas (procedentes de los ideales primos) más una valoración adicional, el "ideal primo infinito" que en el caso de Q es el valor absoluto estándar y en el caso de F _p [X] es el (negativo de) la valoración del grado. Pero aquí hay una diferencia significativa: Mientras que el primo infinito en F _p [X] es también una valoración discreta, el primo infinito en Q no es discreto. Muy importante en este contexto es la fórmula del producto que dice que para un elemento fijo no nulo a de un campo global el producto del valor absoluto de a sobre todos los lugares (finitos E infinitos) es igual a 1.

Answer 5

Aquí es un interesante estudio de Buium sobre las sorprendentes analogías conc. ecuaciones diferenciales, aquí un artículo muy interesante de Esnault sobre las analogías char 0/char p y cómo aprovecharlas.