Teorema ergódico de Birkhoff

Question

Estoy leyendo un documento y me cuesta entender lo siguiente. Lo reduciré a lo más básico.

Supongamos que tenemos un sistema ergódico que preserva la medida $(X,T,\mu)$ . Supongamos que $f\in\mathcal{L}^1(X)$ , donde $f$ toma valores en $\mathbb{N}$ (no estoy seguro de que esto sea importante, sólo lo diré). El documento dice que por el teorema ergódico, $f\circ T^n=o (n)$ a.e. No consigo ver cómo se sostiene esto.

Sabemos por el teorema ergódico que para a.e. $x$ , $\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(T^kx)\to \int_X fd\mu$ a.e.

No puedo ver cómo esto implica $\frac{f\circ T^n}{n}\to 0$ a.e.

Al principio pensé que podría seguirse de la prueba de la secuencia nula, pero no estoy seguro de que esto pueda aplicarse ya que tenemos el $\frac{1}{n}$ término por ahí. Se agradecerá cualquier ayuda.

Gracias.

Answer 1

Una pista: Si ponemos

$$a_n := \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(T^k x)$$

entonces $$\frac{1}{n} f(T^n x) = \frac{n+1}{n} a_{n+1} - a_{n} = (a_{n+1}-a_{n}) + \left(\frac{n+1}{n}-1 \right) a_{n+1}$$

Ahora utiliza la convergencia de la secuencia $a_n$ para demostrar que el lado derecho converge a $0$ como $n \to \infty$ .

Answer 2

Supongamos que no lo es, ya que $f$ toman valores positivos puedes tomar $c>0$ tal que para un número infinito de $n$ tenemos $f\circ T^n >cn$ Por lo tanto $$\frac{1}{N} \sum_{n=0}^N f\circ T^n\geq\frac{1}{N}\sum_{N<n\in I} f\circ T^n\geq\sum_{N<n\in I} c\rightarrow\infty$$ donde $I$ es el conjunto de los $n$ para lo cual $f\circ T^n>cn$ por contradicción.