Las funciones lineales no negativas sobre $l^ \infty $

Question

Mi propósito es aclarar el papel del axioma de la elección en la construcción de límites para las secuencias delimitadas. A saber, queremos una función lineal de la norma 1 definida en el espacio de todas las secuencias complejas delimitadas que lleva las secuencias no negativas a los números no negativos. También queremos que aniquile todas las secuencias con un número finito de elementos no cero, y que lleve las secuencias constantes a la misma constante. Es bien sabido que tales funciones pueden realizarse como límites a lo largo de los ultrafiltros libres, por lo que se necesita el axioma de la elección. Me gustaría entender si la construcción puede simplificarse si, en lugar de los ultrafiltros, permitimos funciones con propiedades como las descritas anteriormente. Aquí están mis preguntas:

¿Existe una construcción explícita de tal funcional?

Si no es así, ¿significa esto que hay razones formales por las que la construcción explícita no puede existir?

¿Es posible establecer el hecho de que lo funcional existe sin utilizar el axioma de elección?

Actualización después de la discusión: Es importante que haya diferentes "niveles" del axioma de elección. Si me sentí mejor cuando escribí este mensaje, también añadiría la siguiente pregunta contestada de forma afirmativa:

¿Es posible construir lo funcional como se desea sin ultrafiltros, pero utilizando sólo el teorema de Hahn-Banach para el espacio $l^ \infty $ ?

Esta pregunta parece más natural y elemental que la lista de mis preguntas, pero el camino a veces te da más que la meta. ¡Muchas gracias a todos por la muy útil e interesante discusión!

Answer 1

Observe primero que una función lineal positiva es continua.

Hay modelos de ZF en los que ambos $ \ell ^1$ y $ \ell ^{ \infty }$ son reflexivos y por lo tanto $ \ell ^1$ es el espacio dual de $ \ell ^{ \infty }$ . El modelo de Solovay el famoso en el que cada conjunto de reales es medible, tiene esta propiedad (ver el artículo de Väth que menciono más abajo).

Esto significa que es imposible construir un funcional como se desea sin recurrir a algún tipo de elección, ya que obviamente no hay funcional en $ \ell ^{ \infty }$ viniendo de $ \ell ^1$ hace lo que tú quieres.

Tenga en cuenta, sin embargo, que todos los requisitos que usted enumera se cumplen por el límite de Cesàro

$$ \operatorname {c{-}lim} x_k = \lim_ {n \to \infty } \frac {1}{n} \sum_ {k=0}^{n-1} \phantom {|} x_k$$

hasta el hecho de que no está definido en todos los $ \ell ^{ \infty }$ . Estos límites dan lo que se quiere en las secuencias que se mencionan, es decir, si una secuencia converge se obtiene el límite habitual (en particular es cero para las secuencias de soporte finito y, por supuesto, es positivo). Puedes considerar que el subespacio $U$ de $ \ell ^{ \infty }$ en el que se define el límite de Cesàro. Deberías intentar construir una secuencia delimitada para la cual el límite de Cesàro no existe.

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Como referencia accesible para un análisis funcional constructivo, recomiendo el libro de E. Schechter Manual de análisis y sus fundamentos. Academic Press, Inc., San Diego, CA, 1997. xxii+883 pp. ISBN: 0-12-622760-8. No te asustes por la algo poco caritativa revisión en MathSciNet . Aquí está Página de inicio de Schechter donde encontrarás mucho material sobre el constructivismo y el axioma de la elección.

En el periódico de M. Väth, El espacio dual de $L^{ \infty }$ es $L^{1}$ Indagationes Mathematicae Volumen 9, número 4, (1998), páginas 619-625, MR1691998 encontrará la justificación del segundo párrafo.

En Pincus, David, La fuerza del teorema de Hahn-Banach . Simposio de Victoria sobre análisis no normalizados (Univ. Victoria, Victoria, B.C., 1972), págs. 203-248. Lecture Notes in Math, Vol.  369 Springer, Berlín, 1974. MR476512 encontrarás un análisis muy detallado de Hahn-Banach y sus hermanos. En particular se establece allí que se puede probar la primera frase del segundo párrafo de esta respuesta sin recurrir al modelo de Solovay y, mejor aún, evitando los grandes supuestos cardinales (que se utilizan para el modelo de Solovay).

Para responder a su última pregunta, sí, ciertamente no necesita el axioma completo de la elección para la construcción de tal funcional lineal, pero definitivamente necesita más que la elección dependiente contable y me parece recordar que el requisito preciso que necesita es el teorema ideal de la primacía booleana, pero puede que me equivoque. Estoy seguro de que uno de los competentes teóricos de conjuntos que están aquí de vez en cuando puede proporcionarle más información.

Editar: Aquí hay dos hilos MO relacionados (gracias, Jonas):

• Elemento explícito de $( \ell ^{ \infty })^ \ast - \ell ^1$ ?
• ¿Cuál es un ejemplo de un espacio que necesita el Teorema de Hahn-Banach?

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Añadido:

Ya que parece estar tan interesado en el existencia de tal funcionalidad, puede que quieras visitar La entrada del blog de Terence Tao en Ultrafiltros, análisis no estándar y manejo de épsilon .

Mi prueba favorita es la siguiente:

Deje que $U$ ser el subespacio de $ \ell ^{ \infty }$ que consiste en secuencias de la forma $Tx - x$ donde $T: \ell ^{ \infty } \to \ell ^{ \infty }$ es el operador de turno $T(x_n) = (x_{n+1})$ . Ahora demuestre:

1. La función constante $1$ tiene distancia $1$ de $U$ .
2. Probar que las secuencias que convergen en cero están contenidas en el cierre de $U$ .
3. Por Hahn-Banach existe una función lineal $l: \ell ^{ \infty } \to \mathbb {R}$ de tal manera que $l(u) = 0$ para todos $u \in U$ y $l(1) = 1$ .
4. Demostrar que esto implica que $l \geq 0$ y $l(Tx) = l(x)$ para todos $x$ y $l(c) = \lim {c}$ para cada secuencia convergente $c$ .

Una segunda prueba es tomar $U$ ser el subespacio de secuencias para el que existe el límite de Cesàro y definir $ \tilde {l}: U \to \mathbb {R}$ por $l(x) = \operatorname {c{-}lim}{x}$ . Ahora note que $ \tilde {l}{x} \leq \limsup {x_n}$ y aplicar Hahn-Banach a $ \tilde {l}$ y el funcional sublinear $ \limsup $ .