Pruebas por inducción con factoriales

Question

Mis habilidades "factoriales" están un poco oxidadas y aunque conozco algunas simplificaciones como: $(n+1)\,n! = (n+1)!$ Estoy atascado.

Tengo que demostrar por inducción que:

$$\sum_{i=1}^n\frac{i-1}{i!} = \frac{n!-1}{n!}$$

Llego hasta aquí: $$\frac{k!-1}{k!} + \frac{(k+1)-1}{(k+1)!} = \frac{(k+1)!(k!-1) + k\cdot k!}{k!(k+1)!}$$

y sé que debo conseguir: $$\frac{(k+1)! -1}{(k+1)!}.$$

Pero no veo cómo. Cualquier ayuda sería apreciada, ¡gracias!

Answer 1

Sugerencia : En lugar de tomar $k!(k+1)!$ como el demoninador común, simplemente toma $(k+1)!$ como denominador común. Entonces $$\frac{k!-1}{k!}+\frac{(k+1)-1}{(k+1)!}=\frac{k!-1}{k!}+\frac{k}{(k+1)!}=\frac{(k!-1)(k+1)}{(k+1)!}+\frac{k}{(k+1)!}.$$ ¿Puedes seguir a partir de ahí?