Tengo $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}} [h_n(x)-h(x)]^2dx =0 $$ Creo que esto significa $$ \lim_{n\rightarrow\infty} h_n(x)=h(x) $$ para casi todos los $x\in {\mathbb{R}}$ ? ¿Estoy en lo cierto? Me lo pregunto porque la gente se complica con el intercambio de límites e integrales.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como ha señalado Jonaz, sólo se puede garantizar la convergencia casi segura a lo largo de una subsecuencia.
El ejemplo habitual de por qué esto es cierto viene de la secuencia de funciones de la "máquina de escribir". Tomemos la secuencia de funciones \begin{align*} f_0 &= \chi_{[0, 1]} \\ f_1 &= \chi_{[0, \frac{1}{2}]} \\ f_2 &= \chi_{[\frac{1}{2}, 1]} \\ f_3 &= \chi_{[0, \frac{1}{3}]} \\ f_4 &= \chi_{[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]} \\ f_5 &= \chi_{[\frac{2}{3}, 1]} \end{align*} y así sucesivamente (espero que esté claro cómo continúa la secuencia, si no es así, por favor, dígalo). Puede confirmar que $f \to 0$ en $L^2$ pero no convergerá casi con seguridad ya que para cualquier $x \in [0, 1]$ , $f_n(x) = 1$ para un número infinito de $n$ .
