¿Cuál es el cierre algebraico del campo con un elemento?

Question

Si se hace geometría sobre $\mathbb F_p$ significa también utilizar su cierre algebraico, debe ser interesante hablar del cierre algebraico de $\mathbb F_1$ - el campo con un elemento.

He visto que las extensiones finitas de $\mathbb F_1$ se consideran como $\mu_n$ pero un artículo de Connes et al dice que no está justificado pensar en el límite directo de estos. En su artículo, el anillo de grupo $\mathbb Q[\mathbb Q/\mathbb Z]$ aparece mucho. Tal vez sea uno de los $\mathbb Q/\mathbb Z$ , $\mathbb Q[\mathbb Q/\mathbb Z]$ , $\mathbb Z[\mathbb Q/\mathbb Z]$ ?

¿Cuál es el cierre algebraico del campo con un elemento?

Y entonces, ¿qué es $\overline{\mathbb F_1} \otimes_{\mathbb F_1}\mathbb Z$ ? Parece una pregunta muy interesante...

Answer 1

El cierre algebraico de F_1 es el grupo de todas las raíces de la unidad y, al tensarlo con Z, se obtiene el anillo del grupo integral Z[mu_infty] o, si se prefiere, Z[Q/Z].

Para un relato legible (y para referencias folclóricas como Kapranov-Smirnov) véase Yu. I. Manin "Cyclotomy and analytic geometry over F_1" ( http://arxiv.org/abs/0809.1564 ).

Answer 2

Ha habido varias preguntas en mathoverflow sobre el campo con un elemento. Por supuesto, tal campo no existe realmente y la discusión debe deshacerse tarde o temprano. Así que aquí hay una respuesta diferente.

Además de los campos finitos, que son 0-manifolds, sólo hay dos campos que son manifolds, $\mathbb{C}$ y $\mathbb{R}$ . Existe una generalización de la cardinalidad para los colectores y espacios similares, a saber, la característica geométrica de Euler. (Esta característica es opuesta a la característica de Euler homotópica; son iguales para los espacios compactos). La característica geométrica de Euler de $\mathbb{C}$ es 1, mientras que la característica geométrica de Euler de $\mathbb{R}$ es -1. En este sentido, $\mathbb{C} = \mathbb{F}_1$ mientras que $\mathbb{R} = \mathbb{F}_{-1}$ .

Funciona bien para algunos de los ejemplos motivadores del campo ficticio con un elemento. Por ejemplo, la característica de Euler del Grassmanniano $\text{Gr}(k,n)$ en $\mathbb{F}_q$ es entonces uniformemente el coeficiente binomial gaussiano $\binom{n}{k}_q$ .

En esta interpretación, $\mathbb{F}_1$ es algebraicamente cerrado. También es una extensión cuadrática de $\mathbb{F}_{-1}$ ; los cuadrados de cardinalidad generalizados, como debe ser.