Puedes utilizar una buena aritmética polinómica recíproca para hacer este problema desde los primeros principios. Ver aquí y aquí para un tratamiento más general de este problema. Obsérvese que aquí no se requiere nada más que algunas coincidencias básicas de coeficientes polinómicos y el concepto de polinomio recíproco.
Dado un polinomio $f$ el polinomio "recíproco" $\bar{f}$ se define como el polinomio que se obtiene invirtiendo los coeficientes. Más precisamente, $\bar{f} = x^{\deg f} f(\frac 1x)$ . Por ejemplo, el recíproco de $2x^3+3x-1$ es $-x^3+3x^2+2$ . Una observación importante que resulta de la expresión anterior es que $\overline {fg} = \bar{f}\bar{g}$ para todos $f,g$ con término constante distinto de cero.
Una observación interesante es que si $f$ tiene un término constante no nulo (es decir $0$ no es una raíz de $f$ ) entonces las raíces de $\bar{f}$ son exactamente el recíproco de las raíces de $f$ (con multiplicidad). Esto es obvio a partir de la expresión para $\bar{f}$ .
Dejemos que $f(x) = x^7+x^4+1$ . Primero, escriba $x \to -x$ y multiplicar por $-1$ para conseguir $g(x) = x^7-x^4-1$ . Entonces tenemos $\bar{g}(x) = -x^7-x^3+1$ . Tenga en cuenta que $g$ y $\bar{g}$ no tienen ninguna raíz común. Para ver por qué, dejemos $\alpha$ sea una raíz común. Entonces, $\alpha^7 = 1-\alpha^3$ de $\bar{g} = 0$ y $1+x^4$ de $g=0$ . Por lo tanto, $1-\alpha^3= 1+\alpha^4$ que obliga a $-\alpha^3 =\alpha^4$ que obliga a $\alpha = 0, - 1$ , ninguna de las cuales es una raíz.
Supongamos que $g = pq$ para polinomios no constantes $p,q$ . Entonces, considere $\bar{g} = \bar{p}\bar{q}$ . Tenga en cuenta que $g\bar{g} = pq\bar{p}\bar{q} = p\bar{q} \bar{p}q = (p\bar{q}) \overline{(p\bar{q})}$ . Veamos el polinomio $h = p\bar{q}$ . Claramente $h \neq \pm g$ : Si es así, entonces $q = \pm \bar{q}$ y por lo tanto es un factor de ambos $g$ y de $\bar{g}$ lo que no puede ocurrir por co-primalidad (ya que $q$ no es constante). De manera similar, $h \neq \pm \bar{g}$ . En definitiva, está claro que $h$ es una solución a $g\bar{g} = h \bar{h}$ que no es ninguno de $g$ o $\bar{g}$ hasta un cartel.
Y ahí es donde comienza nuestra investigación: ¿podemos demostrar, mediante técnicas de comparación de polinomios, que $g \bar{g} = h \bar{h}$ no admite ninguna solución aparte de $\pm g , \pm \bar{g}$ ? Si es así, entonces hemos terminado porque una consecuencia de la reducibilidad era la existencia de tal $h$ pero también vamos a contradecirlo mientras escribimos.
En primer lugar, lo que es fácil de calcular es $g \bar{g}$ : $$ g \bar{g} = -x^{14}+x^{11}-x^{10}+3x^7-x^4+x^3-1 $$
Supongamos ahora que $h \bar{h}$ es igual al polinomio anterior. ¿Qué deducciones podemos hacer? Para empezar : hasta un signo, claramente el grado de $h$ es igual a $7$ y el coeficiente de $x^{14}$ es el producto del término constante y el término principal, que es igual a $-1$ aquí. Para los polinomios de coeficiente entero, eso sólo es posible si , hasta un signo, $h$ es mónico y tiene un término constante $-1$ .
Así que escribe $$ h = x^7+a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x-1 \\ \bar{h} = -x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+1 $$
Ahora viene el gran observación : ¿cuál es el coeficiente de $x^7$ en $g \bar{g}$ ? Es igual a $3$ . Por lo tanto, se espera lo mismo de $h \bar{h}$ . Sin embargo, observe algo muy interesante sobre el coeficiente de $x^7$ en $h \bar{h}$ : claramente, para conseguir $x^7$ se combinan los coeficientes de $x^n$ y $x^{7-n}$ en los polinomios $h$ y $\bar{h}$ . Sin embargo, esos coeficientes son iguales entre sí ¡!
En otras palabras, el coeficiente de $x^7$ en $h \bar{h}$ es igual a $$ 1+a_6^2+a_5^2+a_4^2+a_3^2+a_2^2+a_1^2+1 = 3 $$ y por lo tanto $$ a_6^2+a_5^2+a_4^2+a_3^2+a_2^2+a_1^2 = 1 $$
que sólo puede ocurrir si exactamente uno de los $a_i$ es distinto de cero y es igual a $\pm 1$ y los otros todos iguales $0$ . Esta observación reduce la mayoría de los coeficientes a polvo. Ahora es el momento de terminar el problema utilizando los primeros coeficientes.
Comparación de $x$ -coeficientes de $h \bar{h}$ y $g$ (ambos iguales $0$ ) da $a_1 = a_6$ . Porque a lo sumo uno de $a_1$ o $a_6$ puede ser distinto de cero, se deduce que ambos deben ser iguales a $0$ . (en caso contrario, ambos son distintos de cero, lo que contradice el último párrafo).
Ahora compara el $x^2$ coeficientes. Observando que $a_1=a_6=0$ Esto da como resultado $a_2-a_5 = 0$ . Por lo tanto, $a_2 = a_5$ . De nuevo, el argumento del párrafo anterior implica que tanto la igualdad $0$ .
Ahora compara el $x^3$ coeficientes. Esto da $a_3-a_4 = 1$ . Así que, o bien $a_3=0,a_4 = -1$ o $a_3 = 1, a_4 = 0$ .
El primero da $x^7-x^4-1 = g$ . El segundo, da $x^7+x^3-1 = -\bar{g}(x)$ . En consecuencia, hemos demostrado que $h$ es $g$ o $\bar{g}$ hasta una señal, una contradicción.
Así, $h$ es, de hecho, un polinomio irreducible.
Resultado : Que $1<m<n, m \neq \frac n2$ y que $\delta,\epsilon$ sea cualquiera de $\pm 1$ . Entonces, $x^n+\delta x^m+\epsilon$ es irreducible si y sólo si no comparte ninguna raíz con $\epsilon x^n+\delta x^{n-m}+1$ .
Prueba : Más o menos lo que has visto aquí, refinado. Si comparten una raíz, bueno, también comparten el recíproco de esa raíz, y por lo tanto ambos tienen un factor cuadrático $(x-l)(lx-1)$ en común para algunos $l$ . (o factor lineal, si esa raíz es $\pm 1$ ).
Este criterio parece ser útil para los polinomios enteros de coeficientes "dispersos", en los que hay muy pocas posibilidades de $h \bar{h} = g \bar{g}$ teniendo otra raíz debido a las restricciones de los coeficientes. Siempre que se pueda hacer algo con el coeficiente medio (que fue lo que se hizo en este caso), parece que el argumento se puede extender a polinomios más complicados que los mencionados en la hoja.
También hay que tener en cuenta que hay una buena razón para desarrollar esta teoría: el trabajo de Osada sobre los grupos de Galois de $x^m+ax^l+b$ (ver aquí ) requiere que la irreducibilidad de este polinomio sea una condición necesaria para que el grupo de Galois sea igual a $S_n$ . Acabamos de desarrollar un criterio necesario para que esto ocurra, y por lo tanto somos capaces de encontrar grupos de Galois para una clase de polinomios ligeramente mayor y no trivial clase de polinomios.
