Terminología en la teoría de las categorías

Question

Mucha de la terminología de la teoría de categorías tiene antecedentes obvios en el análisis: límites, completitud, adjuntos, continuos (funtores), por nombrar sólo algunos. Sin embargo, el análisis y la teoría de las categorías parece para estar en los polos opuestos del espectro.

¿Hay algo profundo aquí, o es un caso de "tiene alas, así que llamémoslo pato"?

Esto se inspiró en parte en la respuesta más votada a la pregunta ¿Qué es un espacio métrico? y por las respuestas (ligeramente insatisfactorias) a la pregunta ¿Pueden realizarse naturalmente las transformaciones lineales adyacentes como funtores adyacentes? . En particular, en el primer caso -la visión categórica de los espacios métricos- sí parece haber una ruta obvia entre los dos mundos, ¿se corresponden ahí las terminologías?

Answer 1

Los nombres en la teoría de las categorías suelen nacer cuando alguien se da cuenta de que un concepto de un tema concreto puede generalizarse de forma categórica. El concepto definido de forma generalizada recibe entonces el nombre del concepto original definido de forma restringida.

El caso de los espacios métricos proporciona un ejemplo ligeramente notorio. Como ya se ha comentado en ese otra pregunta Los espacios métricos pueden verse como un ejemplo de categorías enriquecidas. Así, dado cualquier concepto de la teoría de los espacios métricos, se puede intentar generalizarlo al contexto de las categorías enriquecidas. Esto ocurrió con la propiedad de integridad de los espacios métricos, que podríamos llamar Completitud de Cauchy ya que se trata de secuencias de Cauchy. Este concepto resulta generalizarse muy suavemente a las categorías enriquecidas, y ser una propiedad útil e importante allí.

Muchos llaman a esta propiedad "completitud de Cauchy" también en el contexto general de las categorías enriquecidas. Sin embargo, una minoría significativa no está de acuerdo con esta elección, ya que considera que se está extendiendo demasiado la terminología. Por ejemplo, cuando se aplica a las categorías ordinarias ( Set -enriquecidas), la propiedad simplemente dice que todo morfismo idempotente en la categoría se divide. Esto no se "siente" como la condición de completitud en los espacios métricos. Así que también hay otros nombres en vigor, como "completa de Karoubi" (especialmente popular en la escuela francesa).

Es cierto que muchas piezas de la terminología categórica proceden del análisis, pero quizá todo eso diga que el análisis es un tema antiguo y venerable. Exactamente es otro ejemplo. Se utiliza para significar varias cosas ligeramente diferentes en la teoría de categorías, pero el uso más común es que un functor es "exacto por la izquierda" si preserva los límites finitos. Eso viene del álgebra homológica, donde se habla de secuencias exactas; un functor entre categorías abelianas preserva las secuencias exactas de la izquierda si preserva los límites finitos. Y eso, a su vez, creo que viene de la terminología de las ecuaciones diferenciales.

Answer 2

En cuanto al ejemplo del límite, tiene sus raíces en el análisis por medio de la topología.

A topología sobre algún conjunto X es un sistema de subconjuntos, parcialmente ordenados por inclusión, que tienen uniones arbitrarias y encuentros finitos (o posiblemente al revés, dependiendo de si se buscan conjuntos abiertos o cerrados), con X y 0 miembros del sistema.

Este orden parcial nos da una estructura de categoría, que consiste en conjuntos abiertos (¿cerrados?). Los límites de éstos resultan ser interpretables como límites en el sentido clásico; y los colímites son el concepto dual habitual.