1/2 Teorema de Wilson

Question

Durante mi investigación me encontré con esta pregunta:

Pregunta: ¿Cuál es el valor de $x_p=(\dfrac{p-1}{2})! \mod p$ cuando $p>3$ ¿es primo?

Observación: Es fácil ver $x_p^2 \mod p=(-1)^{\dfrac{p+1}{2}} \mod p$ con $x_p\in [1;p-1] \cap \mathbb N$

Pero no es fácil encontrar si $x_p \leq\dfrac{p-1}{2}$ o $x_p> \dfrac{p-1}{2}$

Answer 1

Para el caso $p\equiv 1\pmod{4}$ Véase el siguiente artículo de Chowla: Sobre el número de clase de los campos cuadráticos reales. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 47 (1961), 878. Allí se demuestra lo siguiente:

Dejemos que $h$ sea el número de clase de $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ y que $\epsilon = (u+v\sqrt{p})/2$ sea la unidad fundamental del correspondiente anillo de enteros. Entonces $h$ es impar y $$ 2\cdot \frac{p-1}{2}! \equiv (-1)^{(h+1)/2} u \pmod{p}.$$

Se puede encontrar una exposición de este resultado (y material relacionado) en el último capítulo de la obra de Pollack Introducción conversacional a la teoría algebraica de los números .

Answer 2

Ver el artículo de Mordell: The congruence (p-1/2)!≡±1 (mod p). Amer. Math. Monthly 68 1961 145-146 .