Rango de la transformada de Fourier en $L^1$

Question

Es bien sabido que la transformada de Fourier $\mathcal{F}$ mapas $L^1(\mathbb{R}^d)$ en, pero no en, $\overline{C_0^0}(\mathbb{R}^d)$ , donde el cierre se toma en el $L^\infty$ norma. Esto es una consecuencia del teorema del mapa abierto, por ejemplo.

Mi pregunta es: ¿cuál es un ejemplo explícito de una función en $\overline{C_0^0}(\mathbb{R}^d)$ que no es a imagen y semejanza de $L^1(\mathbb{R}^d)$ bajo la transformada de Fourier?

También me gustaría saber si existe una caracterización útil de $\mathcal{F}(L^1(\mathbb{R}^d))$ .

Observación: es fácil ver que el espacio de Banach $\overline{C_0^0}(\mathbb{R}^d)$ consiste en todas las funciones continuas $f$ en $\mathbb{R}^d$ tal que $f(\xi)\rightarrow 0$ como $|\xi|\rightarrow\infty$ .

Answer 1

Para la primera pregunta he comentado más arriba que la función $\sqrt(1-|x|^2)$ ampliado a $0$ fuera de la bola unitaria no es la transformada de Fourier de ninguna función integrable en dimensión 2 o superior. En dimensión $1$ hay "Resultados adicionales" del capítulo I de Introducción al análisis de Fourier de Stein. En caso de que no tengas acceso al libro, esta es la construcción: Obsérvese que $|\int_a^b \sin(x)/x\ dx| \leq C<\infty$ para cualquier valor estrictamente positivo $a$ y $b$ . Ahora bien, si $f\in L^1$ y $F(f)$ es impar tienes $F(f)(x) = \int f(t) \sin(xt)\ dt$ hasta una constante multiplicativa. Entonces es fácil ver a partir de la estimación anterior que $|\int_1^b F(f)(x)/xdx|\leq C'<\infty$ uniformemente en $b$ . Por lo tanto, una función que es continua, impar y que decae muy lentamente ( $1/\log(x)$ ) no es la transformada de Fourier de una función integrable.

Answer 2

No es relevante para tu pregunta, pero no me resisto a señalar que es muy difícil exhibir cualquier biyección lineal continua de $L^1$ (espacio de medida sensible) en $C_0$ (espacio topológico sensible), y de hecho si cualquiera de los dos espacios es infinito entonces sospecho que esto nunca es posible, sólo por razones de geometría del espacio de Banach. Por lo tanto, aunque no ayuda a lo que quieres mirar, pensé que valdría la pena mencionar que uno puede conozca la respuesta a "¿está el FT en?" debe sea "no", antes de buscar un ejemplo o utilizar las propiedades de la transformada de Fourier.

(Mis advertencias se deben a que no quiero afirmar categóricamente que no se puede hacer, pero en todos los casos que se me ocurren no existirá tal biyección. Sin embargo, tanto mi teoría general de la medida como mi topología general no son lo que deberían ser, así que no puedo recordar cómo hacer las cosas de forma precisa en las configuraciones más generales).

En fin. Afirmo que no existe una biyección lineal continua entre $L^1({\mathbb R}^d)$ y $C_0(X)$ , donde $X$ es Hausdorff localmente compacto (por ejemplo, un espacio métrico). La razón es que tenemos grandes y poderosos resultados que nos dicen que

(i) todo operador lineal acotado de $C_0(X)$ a $L^1({\mathbb R}^d)$ es poco compacto ;

(ii) si el mapa de identidad en un espacio de Banach $E$ es débilmente compacto, entonces $E$ es reflexivo ;

(iii) $L^1({\mathbb R}^d)$ no es reflexivo (ibid).

Desgraciadamente, no puedo localizar una prueba autocontenida del hecho clave (i). (Se puede deducir como corolario de un hecho bastante resultado potente, fundamental y bello - debido a algún antiguo alumno prometedor de Dieudonné y Schwartz, no sé si llegó a hacer algo importante...)

Answer 3

Véase la página 68 (teorema 3.2.2) de mis notas sobre el análisis de Fourier: https://home.iitm.ac.in/mtnair/FS-2018.pdf

Answer 4

Cualquier caracterización de $\mathcal{F}(L^1(\mathbb{R}^d))$ como dijo uno de mis profesores de análisis armónico, te conseguirá la titularidad inmediata en un departamento de matemáticas que se preocupe por el análisis armónico. Es una pregunta abierta bien conocida en el campo.