Cuando pensamos en invariantes cuánticos, solemos pensar en el polinomio de Jones o en el HOMFLYPT coloreado. Pero (posiblemente) el ejemplo más sencillo de invariante cuántico de un nudo o enlace es su polinomio de Alexander. Desde el principio, el problema central en el estudio de los invariantes cuánticos ha sido ¿qué significan topológicamente? El polinomio de Alexander tiene un claro significado topológico algebraico como el orden del módulo de Alexander (primera homología de la cubierta cíclica infinita como módulo sobre el grupo de transformaciones de la cubierta). ¿Se puede explicar conceptualmente (tanto en términos de física como de matemáticas) por qué la teoría de la representación de ciertos grupos cuánticos pequeños da lugar naturalmente a esta cantidad? Computacionalmente puedo entenderlo, pero no conceptualmente.
A pregunta algo relacionada ya se preguntó aquí.
Actualización : He publicado sobre esta cuestión aquí y aquí . Ver también esta pregunta .
Respuestas
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Esto dista mucho de ser una respuesta completa, pero creo que la clave es "cómo se ve la relación de la madeja a partir de la definición clásica". Una vez que se conoce la relación de la madeja, es fácil demostrar que es un invariante cuántico, y la relación de la madeja se descubrió en la década de 1960, mucho antes de que nadie conociera los grupos cuánticos.
Cimasoni y Turaev, Una representación lagrangiana de los enredos (Topología 44 (2005), 747-767, doi: 10.1016/j.top.2005.01.001 ) tienen una generalización muy natural del módulo Alexander que está rondando sus preocupaciones.
Me enteré de este artículo por razones completamente diferentes: Paolo Salvatore lo señaló cuando intentábamos argumentar que la terminación de grupo del monoide de enlaces de cuerdas no puede ser abeliana.
