Isomorfismo de Tor y functor tor

Question

En Teorema 6.32. pg 355 de Rotman's Hom. Alg. demuestra que dos construcciones diferentes de Torsiones coinciden,

$$Tor_n^R(A,B) \cong tor_n^R(A,B)$$

donde

Si $B$ es una izquierda $R$ -módulo y $T = - \otimes_R B$ , defina el functor derivado de la izquierda $$Tor_n^R(-, B) = L_nT.$$

Si $A$ es un derecho $R$ -módulo y $T=A \otimes_R - $ , defina $$tor_n^R(A,-) = L_nT.$$

Se trata de una prueba diagramática, por lo que espero que puedan echar un vistazo al enlace. Hay una parte de la prueba que no puedo entender:

$W=Tor_1(K_{i-1},V_{j-1}), X=Tor_1(K_{i-1},V_{j}), \ldots $

Esto no está claro en la definición dada. Lo que deberíamos tener es que $$Tor_1(K_{i-1},V_j) \cong \ker d_1/im \, d_2$$

donde con $T=- \otimes_RV_j$ , $$ TP_{i+2} \xrightarrow{d_2} TP_{i+1} \xrightarrow{d_1} TP_i \xrightarrow {d_0} K_{i-1} $$
¿por qué se mantienen las igualdades? De hecho, incluso si se mantiene, ¿no debería ser un isomorfismo?

Answer 1

Tenga en cuenta que si tiene una secuencia corta exacta $0\to K\to P \to L\to 0$ con $P$ proyectiva y $M$ es un módulo (hacia el lado correcto) entonces la secuencia exacta larga se lee ( $P$ proyectiva)

$$\operatorname{Tor}_1(P,M)=0\to \operatorname{Tor}_1(L,M)\to K\otimes M\to P\otimes M\to L\otimes M\to 0$$

para que $\operatorname{Tor}_1(L,M)$ es el núcleo de $K\otimes M\to P\otimes M$ . Esto es lo que Rotman está utilizando en todo momento.