Es bien sabido que algunas afirmaciones sobre sumas parciales de funciones multiplicativas son extremadamente difíciles. Por ejemplo, la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que $|\mu(1)+\mu(2)+\dots+\mu(n)|$ está limitada por encima por $n^{1/2+\epsilon}$ para todos $\epsilon > 0$ . Sin embargo, quiero saber sobre baja límites para tales sumas parciales, válidos para infinitos n. Por ejemplo, se sabe que las sumas de la función de Möbius deben estar infinitamente cerca de $n^{1/2}$ ¿en magnitud? ¿Se puede demostrar al menos que no tienen límites? ¿Y qué pasa con la función de Liouville $\lambda$ ? ¿Son sus sumas parciales ilimitadas? Si es así, ¿alguien puede darme una buena referencia o una prueba rápida? ¿Y qué hay de las funciones generales completamente multiplicativas que toman valores de módulo 1? ¿Se sabe algo sobre ellas?
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Esta referencia contiene el mejor resultado de este tipo conocido actualmente para $\mu(n)$ :
Tadej Kotnik y Herman te Riele The Mertens Conjecture revisited. Algorithmic number theory, 156--167, Lecture Notes in Comput. Sci., 4076, Springer, Berlín, 2006.
Demuestran que $\limsup_{x \rightarrow +\infty}M(x)/\sqrt{x} \geq 1.218$ y que $\liminf_{x \rightarrow +\infty}M(x)/\sqrt{x} \leq -1.229$ . Aquí
$ M(x) = \sum_{n \leq x}\mu(n) $
es la notación convencional para la función sumatoria de la función de Möbius. Su demostración es una mezcla de teoría analítica de números y cálculos a gran escala. También tienen un estudio de lo que se sabe y lo que se conjetura sobre el tamaño de $M(x)$ .
Ahora pasamos a la función de Liouville $\lambda(n)$ y su función sumatoria $L(x)$ . Este último está muy relacionado con $M(x)$ , para
$ \sum_{n \leq \sqrt{x}}\mu(n)L\left(\frac{x}{n^2}\right) = \sum_{n \leq \sqrt{x}}\mu(n)\sum_{m \leq x/n^2}\lambda(m) = \sum_{N \leq x}\sum_{mn^2 = N}\mu(n)\lambda(m) = \sum_{N \leq x}\mu(N) = M(x). $
Así,
$ |M(x)| \leq \sum_{n \leq \sqrt{x}}|L\left(\frac{x}{n^2}\right)| $
y por lo tanto la suposición
$ L(x) = o\left(\frac{\sqrt{x}}{\log^{1 + \epsilon}(x)}\right) $
por ejemplo, lleva a una contradicción con el resultado de Kotnik-te Riele (o resultados anteriores) para cualquier $\epsilon > 0$ .
Mi opinión es que si uno busca los resultados antiguos (antes de la informática) en $|M(x)|$ desde abajo, se podría demostrar que $\limsup_{x \rightarrow +\infty}|L(x)|/\sqrt{x} > 0$ . Puede que incluso esté en la literatura en alguna parte.
Alternativamente
$ \sum_{n = 1}^{\infty}\lambda(n)n^{-s} = \prod_{p}\sum_{k=0}^{\infty}\lambda(p^k)p^{-ks} = \prod_{p}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kp^{-ks} = \prod_{p}(1 + p^{-s})^{-1} = \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} $
por la fórmula del producto de Euler, y a partir de aquí es más elemental que con $M(x)$ en el argumento que dio David Speyer, porque no necesitamos los ceros en la línea crítica. Para $\zeta(2s)$ tiene un polo en $s = 1/2$ que no se cancela por un polo de $\zeta(s)$ en el mismo punto. Así, $L(x) = O(x^{\alpha})$ es imposible con $\alpha < 1/2$ por suma parcial.
Para las funciones multiplicativas de módulo $1$ La situación es mucho menos clara. Para simplificar, supongamos que $f(n)$ es una función totalmente multiplicativa (multiplicativa y $f(p^k) = f(p)^k$ ) con $|c_p| = 1$ donde $c_p = f(p)$ . La función Liouville es el caso $c_p \equiv -1$ . Entonces
$ \sum_{n = 1}^{\infty}f(n)n^{-s} = \prod_{p}\frac{1}{1 - c_pp^{-s}}{\quad},{\quad}A(x) = \sum_{n \leq x}f(n) $
por la fórmula del producto de Euler. El principio básico es que si $A(x) = O(x^{\alpha})$ entonces la serie de Dirichlet del lado izquierdo es convergente en el semiplano $\sigma > \alpha$ por lo que la suma es holomorfa en ese semiplano. Si podemos encontrar una singularidad $s_0$ del producto en el lado derecho con $\mathrm{Re}(s_0) = \sigma_0$ que nos dice que $A(x) = O(x^{\alpha})$ con $\alpha < \sigma_0$ es imposible. Lo malo ahora es que el producto puede divergir en un punto sin tener una singularidad allí, porque el producto puede divergir a cero, y una función holomorfa puede ser cero en un punto sin ser singular allí.
Pero es sencillo demostrar que si $\mathrm{Re}(c_p) \geq \delta > 0$ para todos $p$ entonces $A(x) = O(x^{\alpha})$ es imposible para cualquier $\alpha < 1$ demostrando que la serie $ \sum_{p}c_pp^{-\sigma} $ va al infinito como $\sigma \rightarrow 1^{+}$ .
Probablemente ya lo sepas, pero: Poner $s(n) = \mu(1) + \cdots + \mu(n)$ . Supongamos, en aras de la contradicción, que $s(n) = O(n^{1/2 - \epsilon})$ . Entonces $$\sum s(n) \left( n^{-s} - (n+1)^{-s} \right)$$ convergería para $Re(s) > 1/2-\epsilon$ . Esto daría una extensión analítica de $1/\zeta(s)$ a este medio plano, contradiciendo que $\zeta$ tiene ceros en la línea crítica.
Así, sabemos que las sumas parciales de $\mu$ NO son $O(n^{1/2 - \epsilon})$ . No sé si esto puede ser impulsado para demostrar que no son $o(n^{1/2})$ .
Este documento muestra que $L(n) > .061867\sqrt{n}$ para un número infinito de $n$ .
En cuanto a los métodos algo elementales (en el sentido de evitar la función zeta de Riemann) para demostrar que $L(n)$ es "normalmente" de orden $\sqrt{n}$ se puede utilizar la serie de Lambert $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\lambda(n)q^n}{1-q^n}} = \sum_{n=1}^{\infty}{q^{n^2}}.$$
Como $$\frac{q^n}{1+q^n} = \frac{q^n}{1-q^n} - 2\frac{q^{2n}}{1-q^{2n}},$$ tenemos $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\lambda(n)}{q^{-n}+1}} = \sum_{n=1}^{\infty}{q^{n^2}} - 2\sum_{n=1}^{\infty}{q^{2n^2}}$$
o, de forma equivalente, dejando que $q = e^{-\pi/x}$ y $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty}{e^{-\pi xn^2}}$ , donde $x$ es grande, $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\lambda(n)}{e^{n\pi/x}+1}} = \psi(1/x) - 2\psi(2/x)$$
Ahora $\psi(x)$ satisface la ecuación funcional $$\frac{1+2\psi(x)}{1+2\psi(1/x)} = \frac{1}{\sqrt{x}},$$
por lo que podemos reescribirlo como $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\lambda(n)}{e^{n\pi/x}+1}} = \frac{1-\sqrt{2}}{2}\sqrt{x} + \frac{1}{2} + (\psi(x)-2\psi(x/2))\sqrt{x}.$$
Para los grandes $x$ la parte izquierda "parece" $L(x)$ mientras que el lado derecho está dominado por el término $\frac{1-\sqrt{2}}{2}\sqrt{x}$ . Esto también explica por qué $L(n)$ es predominantemente negativo, ya que $\frac{1-\sqrt{2}}{2}$ es negativo.
Esta es una observación en gran medida histórica:
Littlewood demostró que existe $x$ para que $\pi(x)$ es mayor que la log-integral $\mathrm{li}(x)$ . De hecho, $\pi(x) - \mathrm{li}(x)$ es (más o menos) una combinación lineal de factores $x^{1/2+it}$ , donde $1/2+it$ son ceros de $\zeta$ . Forma la convolución multiplicativa con una función suave adecuada: de este modo puedes hacer la suma sólo sobre un número finito de ceros. Ahora encuentra (por Dirichlet) algún $x$ para el que todos los números $i t \log(x)$ son múltiplos cercanos de $2 \pi$ etc.
Esto demuestra que $\pi(x) - \mathrm{li}(x)$ no está limitado por $C \sqrt{x}$ para cualquier $C$ En el caso de Mobius, se obtienen algunas $C$ pero no cualquier $C$ porque es más difícil entender los coeficientes de $x^{1/2+it}$ .
Por último, hay algunos resultados válidos para cualquier función completamente multiplicativa: Véase el artículo de A. Granville y K. Soundararajan titulado "The spectrum of multiplicative functions".
Puede que esto no sea exactamente lo que tienes en mente, pero es un viejo resultado de Paley que para un conjunto infinito (pero muy disperso) de caracteres reales de Dirichlet la desigualdad
$max_{N} |\sum_{n}^{N} \chi(n)| > c \sqrt{Q} \ln\ln(Q) $
se mantiene, donde Q es el módulo del carácter. Montgomery y Vaughan han demostrado la desigualdad inversa (en RH) para todos los caracteres de Dirichlet, es decir,
$max_{N} |\sum_{n}^{N} \chi(n)| < c \sqrt{Q} \ln\ln(Q)$ .
Recientemente, el teorema de Paley fue mejorado por Granville y Soundararajan en su trabajo sobre los caracteres pretenciosos (entre otras cosas, demuestran que el límite inferior se mantiene para un conjunto mayor de caracteres).
referencias: R.E.A.C. Paley, A theorem on characters, J. London Math. Soc 7 (1932), 28-32
H.L. Montgomery y R.C. Vaughan, Exponential sums with multiplicative coefficients, Invent. Math 43 (1977), 69-82.
GRANDES SUMAS DE CARACTERES: CARACTERES PRETENCIOSOS Y EL TEOREMA DE POLYA-VINOGRADOV: http://arxiv.org/abs/math.NT/0503113 .
