Sumas parciales de funciones multiplicativas

Question

Es bien sabido que algunas afirmaciones sobre las sumas parciales de funciones multiplicativas son extremadamente difíciles. Por ejemplo, la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que $|\mu(1)+\mu(2)+\dots+\mu(n)|$ está acotado por encima por $n^{1/2+\epsilon}$ para todo $\epsilon > 0$. Sin embargo, quiero saber acerca de los límites inferiores para tales sumas parciales, válidos para infinitos n. Por ejemplo, ¿se sabe que las sumas de la función de Möbius deben encontrarse infinitas veces cerca de $n^{1/2}$ en magnitud? ¿Se puede al menos probar que son ilimitadas? ¿Y qué hay de la función de Liouville $\lambda$? ¿Sus sumas parciales son ilimitadas? Si es así, ¿puede alguien darme una buena referencia o una prueba rápida? ¿Y qué pasa con funciones completamente multiplicativas generales que toman valores de módulo 1? ¿Se sabe algo sobre ellas?

Answer 1

Esta referencia contiene el mejor resultado de este tipo actualmente conocido para $\mu(n)$:

Tadej Kotnik and Herman te Riele The Mertens Conjecture revisited. Algorithmic number theory, 156--167, Lecture Notes in Comput. Sci., 4076, Springer, Berlín, 2006.

Ellos demuestran que $\limsup_{x \rightarrow +\infty}M(x)/\sqrt{x} \geq 1.218$ y que $\liminf_{x \rightarrow +\infty}M(x)/\sqrt{x} \leq -1.229$. Aquí

$ M(x) = \sum_{n \leq x}\mu(n) $

es la notación convencional para la función sumatoria de la función de Möbius. Su demostración es una combinación de teoría analítica de números y cálculos a gran escala. También tienen un resumen de lo que se sabe y se conjectura sobre el tamaño de $M(x)$.

Ahora pasamos a la función Liouville $\lambda(n)$ y su función sumatoria $L(x)$. Esta última está muy estrechamente conectada con $M(x)$, porque

$ \sum_{n \leq \sqrt{x}}\mu(n)L\left(\frac{x}{n^2}\right) = \sum_{n \leq \sqrt{x}}\mu(n)\sum_{m \leq x/n^2}\lambda(m) = \sum_{N \leq x}\sum_{mn^2 = N}\mu(n)\lambda(m) = \sum_{N \leq x}\mu(N) = M(x). $

Por lo tanto

$ |M(x)| \leq \sum_{n \leq \sqrt{x}}|L\left(\frac{x}{n^2}\right)| $

y así la suposición

$ L(x) = o\left(\frac{\sqrt{x}}{\log^{1 + \epsilon}(x)}\right) $

por ejemplo, conduce a una contradicción con el resultado de Kotnik-te Riele (o resultados anteriores) para cualquier $\epsilon > 0$.

Me imagino que si uno busca los resultados antiguos (pre-computadora) sobre $|M(x)|$ desde abajo, podría demostrar que $\limsup_{x \rightarrow +\infty}|L(x)|/\sqrt{x} > 0$. Esto podría incluso estar en la literatura en algún lugar.

Alternativamente

$ \sum_{n = 1}^{\infty}\lambda(n)n^{-s} = \prod_{p}\sum_{k=0}^{\infty}\lambda(p^k)p^{-ks} = \prod_{p}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kp^{-ks} = \prod_{p}(1 + p^{-s})^{-1} = \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} $

por la fórmula del producto de Euler, y a partir de aquí es más elemental que con $M(x)$ en el argumento que David Speyer dio, porque no necesitamos los ceros en la línea crítica. Pues $\zeta(2s)$ tiene un polo en $s = 1/2$ que no se cancela con un polo de $\zeta(s)$ en el mismo punto. Así que $L(x) = O(x^{\alpha})$ es imposible con $\alpha < 1/2$ mediante la suma parcial.

Para funciones multiplicativas de módulo $1$, la situación es mucho menos clara. Para simplicidad, asumamos que $f(n)$ es una función totalmente multiplicativa (multiplicativa y $f(p^k) = f(p)^k$) con $|c_p| = 1$ donde $c_p = f(p)$. La función Liouville es el caso $c_p \equiv -1$. Entonces

$ \sum_{n = 1}^{\infty}f(n)n^{-s} = \prod_{p}\frac{1}{1 - c_pp^{-s}}{\quad},{\quad}A(x) = \sum_{n \leq x}f(n) $

por la fórmula del producto de Euler. El principio básico es que si $A(x) = O(x^{\alpha})$, entonces la serie de Dirichlet del lado izquierdo es convergente en el semiplano $\sigma > \alpha$, por lo que la suma es holomorfa en ese semiplano. Si podemos encontrar una singularidad $s_0$ del producto en el lado derecho con $\mathrm{Re}(s_0) = \sigma_0$, eso nos dice que $A(x) = O(x^{\alpha})$ con $\alpha < \sigma_0$ es imposible. Lo malo ahora es que el producto puede divergir en un punto sin tener una singularidad allí, porque el producto puede divergir a cero, y una función holomorfa puede ser cero en un punto sin ser singular allí.

Pero es directo mostrar que si $\mathrm{Re}(c_p) \geq \delta > 0$ para todo $p$, entonces $A(x) = O(x^{\alpha})$ es imposible para cualquier $\alpha < 1$, al demostrar que la serie $ \sum_{p}c_pp^{-\sigma} $ tiende a infinito a medida que $\sigma \rightarrow 1^{+}$.

Answer 2

Probablemente ya sabes esto, pero: Establece $s(n) = \mu(1) + \cdots + \mu(n)$. Supongamos, por el bien de la contradicción, que $s(n) = O(n^{1/2 - \epsilon})$. Entonces $$\sum s(n) \left( n^{-s} - (n+1)^{-s} \right)$$ convergiría para $Re(s) > 1/2-\epsilon$. Esto daría una extensión analítica de $1/\zeta(s)$ a esta mitad del plano, contradiciendo que $\zeta$ tiene ceros en la línea crítica.

Así que sabemos que las sumas parciales de $\mu$ NO son $O(n^{1/2 - \epsilon})$. No sé si esto se puede llevar a mostrar que no son $o(n^{1/2})$.

Answer 3

Este documento muestra que $L(n) > .061867\sqrt{n}$ para infinitos valores de $n$.

En cuanto a métodos algo elementales (en el sentido de evitar la función zeta de Riemann) para mostrar que $L(n)$ es "generalmente" del orden de $\sqrt{n}$, se puede usar la serie de Lambert $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\lambda(n)q^n}{1-q^n}} = \sum_{n=1}^{\infty}{q^{n^2}}.$$

Como $$\frac{q^n}{1+q^n} = \frac{q^n}{1-q^n} - 2\frac{q^{2n}}{1-q^{2n}},$$ tenemos $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\lambda(n)}{q^{-n}+1}} = \sum_{n=1}^{\infty}{q^{n^2}} - 2\sum_{n=1}^{\infty}{q^{2n^2}}$$

o equivalentemente, tomando $q = e^{-\pi/x}$ y $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty}{e^{-\pi xn^2}}$, donde $x$ es grande, $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\lambda(n)}{e^{n\pi/x}+1}} = \psi(1/x) - 2\psi(2/x)$$

Ahora $\psi(x)$ satisface la ecuación funcional $$\frac{1+2\psi(x)}{1+2\psi(1/x)} = \frac{1}{\sqrt{x}},$$

y así podemos reescribir esto como $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\lambda(n)}{e^{n\pi/x}+1}} = \frac{1-\sqrt{2}}{2}\sqrt{x} + \frac{1}{2} + (\psi(x)-2\psi(x/2))\sqrt{x}.$$

Para valores grandes de $x$, el lado izquierdo "se parece a" $L(x)$, mientras que el lado derecho está dominado por el término $\frac{1-\sqrt{2}}{2}\sqrt{x}$. Esto también explica por qué $L(n)$ es predominantemente negativo, ya que $\frac{1-\sqrt{2}}{2}$ es negativo.

Answer 4

Aquí hay una observación en gran parte histórica:

Littlewood demostró que existe un $x$ tal que $\pi(x)$ es mayor que el log-integral $\mathrm{li}(x)$. De hecho, $\pi(x) - \mathrm{li}(x)$ es (más o menos) una combinación lineal de factores $x^{1/2+it}$, donde $1/2+it$ son ceros de $\zeta$. Forma la convolución multiplicativa con una función suave adecuada: de esta manera puedes hacer que la suma sea solo sobre finitos ceros. Ahora encuentra (por Dirichlet) algún $x$ para el cual todos los números $it \log(x)$ están cerca de múltiplos de $2 \pi$, etc.

Esto muestra que $\pi(x) - \mathrm{li}(x)$ no está acotado por $C \sqrt{x}$ para ningún $C$; en el caso de Mobius, obtienes algún $C$ pero no cualquier $C$, porque es más difícil entender los coeficientes de $x^{1/2+it}$.

Finalmente, hay algunos resultados válidos para cualquier función completamente multiplicativa: Ver el artículo de A. Granville y K. Soundararajan titulado "El espectro de funciones multiplicativas."

Answer 5

Esto podría no ser exactamente lo que tienes en mente, pero es un antiguo resultado de Paley que para un conjunto infinito (pero muy disperso) de caracteres de Dirichlet reales, la desigualdad

$max_{N} |\sum_{n}^{N} \chi(n)| > c \sqrt{Q} \ln\ln(Q) $

se cumple, donde Q es el módulo del carácter. Montgomery y Vaughan han demostrado la desigualdad inversa (en RH) para todos los caracteres de Dirichlet, es decir,

$max_{N} |\sum_{n}^{N} \chi(n)| < c \sqrt{Q} \ln\ln(Q)$.

Recientemente, el teorema de Paley fue mejorado por Granville y Soundararajan en su trabajo sobre caracteres pretenciosos (entre otras cosas, demuestran que la cota inferior se cumple para un conjunto más grande de caracteres).

referencias: R.E.A.C. Paley, A theorem on characters, J. London Math. Soc 7 (1932), 28-32

H.L. Montgomery y R.C. Vaughan, Exponential sums with multiplicative coefficients, Invent. Math 43 (1977), 69-82.

GRANDES SUMAS DE CARACTERES: CARACTERES PRETENCIOSOS Y EL TEOREMA DE POLYA-VINOGRADOV: http://arxiv.org/abs/math.NT/0503113.