Definir un conjunto convexo en un espacio lineal $X$ . Demuestre que la bola abierta $ B(0, δ) $ es un conjunto convexo en un espacio lineal $ \Bbb R^n $ en $ \Bbb R $ .

Question

Sé que un conjunto convexo en un espacio lineal $X$ se define así:

Dejemos que $ X $ sea un espacio lineal real. Un conjunto $ E X $ se dice que es convexo si y sólo si para cada par de puntos $ x, y E $ el segmento de línea que une $ x $ y $ y $ se encuentra en $ E $ es decir, si $ x, y E $ entonces $$ L [x, y] = \{z \in X\ :\ z = (1 - )x + y, [0, 1]\} E. $$

Ahora, el problema que tengo es el siguiente: ¿Cómo puedo hacer uso de la definición anterior para demostrar que la bola abierta $ B(0, ) $ es un conjunto convexo en un espacio lineal $ \Bbb R^n $ en $ \Bbb R $ .

Fuente: MTH 303 - Cálculo avanzado/OAU - Exámenes semestrales de Harmattan/2017 - 2018 Sesión académica/Set convexo/Q1. (b)

Answer 1

Si $\|x\|<\delta, \|y\|<\delta$ et $0\leq \lambda \leq 1$ entonces $\|\lambda x+(1-\lambda)y\| \leq \lambda \|x\|+(1-\lambda)\|y\| <\delta (\lambda +1-\lambda) =\delta$ .

Answer 2

Dejemos que $x, y\in B(0, \delta)$ y que $\lambda\in[0,1]$ .

Si puede demostrar que $(1-\lambda)x+\lambda y \in B(0,\delta)$ Entonces ha demostrado que $B(0,\delta)$ es convexo. Puedes demostrarlo fácilmente utilizando la desigualdad del triángulo.

Answer 3

Es $x,y\in B(0,\delta)$ y $\lambda\in[0,1]$ entonces $$\bigl\lVert(1-\lambda)x+\lambda y\bigr\rVert\leqslant(1-\lambda)\lVert x\rVert+\lambda\lVert y\rVert<(1-\lambda)\delta+\lambda\delta=\delta$$ y por lo tanto $(1-\lambda)x+\lambda y\in B(0,\delta)$ .