Cómo demostrarlo | $Z^4$ |=|Z|= $\aleph_0$

Question

Tengo
Teorema 1:
La cardinalidad de los números naturales se denota como $_0$ . Es decir, |N| = $_0$ . Así, cualquier conjunto contablemente infinito tiene cardinalidad $_0$ .

Teorema 2:
Si A y B son contablemente infinitos, entonces también lo es A ×B.

¿Puedo utilizar sólo estos 2 teoremas para demostrar | $Z^4$ |=|Z|= $\aleph_0$ ?

Mi prueba:
Como Z es contablemente infinito entonces Z ×Z es contablemente infinito( Teorema 2), y |Z|=|N|= $_0$ Por lo tanto
| $Z^2$ |= $_0$ (Teorema 1)
Utilizando el mismo método para probar| $Z^4$ |.

Answer 1

Se pueden utilizar los teoremas 1 y 2 para demostrar el resultado deseado, pero primero hay que demostrarlos. De hecho, se puede demostrar el resultado deseado directamente en los dos pasos siguientes:

1. Definir una biyección desde $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{N}$ y entonces hay una bijiección natural de $\mathbb{Z}^4$ a $\mathbb{N}^4$ de lo que se deduce que $|\mathbb{Z}^4|=|\mathbb{N}^4|$
2. Entonces define una bijiección de $\mathbb{N}^4$ a $\mathbb{N}$ aplicando la bijiección dos veces de $\mathbb{N}^2$ a $\mathbb{N}$ de lo que se deduce que $|\mathbb{Z}^4|=|\mathbb{N}^4|=|\mathbb{N}|=\aleph_0$ .