¿De cuántas maneras podemos factorizar un número, digamos $676$ En $2$ ¿factores coprimos? Lo he intentado factorizando $676$ y luego contar por medio de golpes y pruebas, lo cual funcionó muy bien.
¿Existe otro método más general para hacerlo? Porque para números muy grandes, hacerlo por ensayo y error consumirá mucho tiempo. No quiero un código o un algoritmo, cualquier prueba que implique matemáticas puras será apreciada.
Primero haz la factorización del primo: $676=2^213^2$ , por lo que implica dos primos $2$ y $13$ . De dos factores, al menos uno debe ser divisible por cada uno de los primos que aparecen. En cambio, para los factores coprimas, ningún primo puede dividir ambos factores. Por tanto, si hay $n$ distintos primos involucrados y contamos el orden conmutado como diferentes factorizaciones, hay $2^n$ factorizaciones de coprima en factores positivos, procedentes de la $2^n$ posibles subconjuntos del conjunto de primos implicados. En el ejemplo, encontramos cuatro: $$ 676 = 1\cdot 2^213^2 = 2^2\cdot 13^2=13^2\cdot 2^2=2^213^2\cdot 1.$$ Menos trivial, para $n=100!$ Hay $2^{25}$ tales factorizaciones porque $100!$ es divisible por el $25$ primos por debajo de $100$ (y ninguna otra).
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