¿Cómo encontrar el número mínimo de puntos de intersección entre dos polinomios?

Question

Cómo encontrar el mínimo número de puntos de intersección entre dos polinomios siempre que me hayan dado un par de puntos iguales para ambos polinomios.

Esta es mi pregunta de los deberes:

"Dejemos $$S={(x_1,y_1),...,(X_{n+2k},Y_{n+2k})}$$

$P(x)$ y $Q(x)$ son polinomios con $$P(X_i)=y_i$$ y $$Q(X_j)=y_j$$ durante al menos $n+k$ puntos en $S$ . ¿Cuál es el número mínimo de puntos en $S$ tal que $P(X)$ = $Q(X)$ ."

Sé que el grado de cada polinomio es $n$ y que el número máximo de puntos de intersección será entonces $n$ pero no tengo ni idea del número mínimo de puntos de intersección. ¿Puede alguien guiarme sobre cómo puedo encontrar el número mínimo de puntos de intersección?

Answer 1

Que marque la potencia del conjunto $A$ como $N(A)$ . Consideremos dos conjuntos: $A=\{(x,y)|(x,y)\in S\land P(x)=y\}$ , $B=\{(x,y)|(x,y)\in S\land Q(x)=y\}$ . Entonces $N(A)\geq n+k$ , $N(B)\geq n+k$ . $N(A\cup B)\leq N(S)=n+2k$ .

$N(A\cap B)=N(A)+N(B)-N(A\cup B)\geq n+k+n+k-(n+2k)=n$ .