¿Qué significa "el ${\bf N}$ de un grupo"?

Question

En el contexto de la teoría de grupo (en mi caso, las aplicaciones de la física), me vienen con frecuencia a través de la frase "la ${\bf N}$ de un grupo", por ejemplo "${\bf 24}$ $SU(5)$ " o "la ${\bf 1}$ $SU(5)$" (el entero es generalmente de composición tipográfica en negrita).

Mi conocimiento de la teoría de grupos es bastante limitada. Sé lo básico, como cuáles son las propiedades que constituyen un grupo, y estoy familiarizado con casos sencillos que se producen en la física (por ejemplo, grupos de rotación $SO(2)$, $SO(3)$, el grupo de Lorentz, $SU(2)$ con las matrices de Pauli, como una representación), pero no mucho más. Tengo un par de preguntas:

• ¿Qué se entiende por "${\bf N}$ de un grupo"?
• Es sólo una abreviatura para un ${\bf N}$ de representación? Si es así, ¿qué es exactamente un ${\bf N}$ en la representación de un determinado grupo? :-)
• ¿Cómo puedo trabajar / escribir una representación concreta, como las matrices de Pauli para $SU(2)$? Yo estaría agradecido por un simple ejemplo.
• ¿Qué significa cuando algo se "transforma como el ${\bf N}$"?

Answer 1

OP escribió (v1):

¿Qué significa "la ${\bf N}$ de un grupo"?

1) los Físicos se hace referencia a una representación irreducible (irrep) para cualquier grupo $G$ estamos hablando. El número de ${\bf N}$ se refiere a la dimensión de la irrep. El punto es que irreps son tan raras que irreps a menudo son exclusivamente especificados por su dimensión (modulo isomorphisms). (Esto no es del todo cierto en general, y los físicos, a continuación, empezar a decorar la negrita dimensión de símbolo con otros adornos, por ejemplo,${\bf 3}$$\bar{\bf 3}$, o, por ejemplo,${\bf 8}_v$${\bf 8}_s$${\bf 8}_c$, etc, para distinguir.)

2) Por el camino, sobre un grupo de representación $\rho: G \to GL(V,\mathbb{F})$ donde $G$ es un grupo, donde $\mathbb{F}$ es un campo (típicamente $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{F}=\mathbb{C}$), donde $V$ $\mathbb{F}$- espacio vectorial, y donde $\rho$ es un grupo de homomorphism; ser conscientes de que los físicos se refieren tanto a la mapa $\rho$ y el espacio vectorial $V$ como "una representación".

Answer 2

"la $N$ de un grupo de $G$" se refiere a una $N$-dimensiones irreductibles (proyectiva) la representación de la (típicamente semisimple) grupo $G$. Una representación es un homomorphism $U$ $G$ a el espacio de lineal auto-asignaciones de un espacio vectorial $V$ (en el proyectiva caso de actuar sobre los rayos); es irreducible si no hay ninguna base en la que todos los $U(g)$ son de bloque triangular. La dimensión de la representación es la dimensión de la $V$.

Por ejemplo, la teoría de la representación de $SO(3)$ implica que no es precisamente una irreductible proyectiva representación de cada una de las dimensiones $N$. El 2-dimensiones de la representación es el spinor representación, las tres dimensiones de la ordinaria de la representación vectorial.

Si un objeto $x$ transforma como un $N$ $x$ es un elemento genérico de una $N$-dimensiones del espacio con la representación de $N$, y por lo tanto trasforms en virtud de un elemento del grupo de $g$ mediante $x\to U(g)x$. Por ejemplo, en el caso de $SO(3)$, si $x$ transforma como un $2$ entonces es un spinor, si se transforma como un $3$ entonces es un vector, etc.

En muchos casos, la dimensión determina la representación hasta el isomorfismo, de ahí la jerga. (De lo contrario, las representaciones pueden ser llamados a $N$$\overline N$, etc., para distinguirlos.) Por ejemplo, la dimensión de SU(5) es de 24, y el 24 caracteriza el medico adjunto de la representación (que tiene dimensión 24).