raíces integrales para $f(x) = 41$ si $f(x) = 37$ tiene 5 raíces integrales distintas.

Question

Dado un polinomio $f(x)$ con coeficientes integrales y $f(x) = 37$ tiene 5 raíces integrales distintas, encuentra el número de raíces integrales de $f(x) = 41$ ?

Mi enfoque: Decir $f(x) = (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)(x-r_5)g(x) + 37$ , donde $r_i$ son los enteros distintos.

Ahora para $f(x) = 41$ tenemos $(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)(x-r_5)g(x) = 4$ , por lo que los factores pueden ser $\pm 1, \pm2$ o $\pm 4$ . Dado $r_i$ son distintos a lo sumo dos de ellos darán $\pm1$ entonces puede haber ambos $\pm 2$ o uno de $\pm 4$ . Aquí es donde me pierdo, ya que aunque utilice todos los $\pm1, \pm2$ , me quedaré con uno $x-r_i$ factor. ¿Qué pasa con eso? ¿Importa que 37 y 41 sean primos, o es sólo una coincidencia?

Gracias de antemano.

Answer 1

Estáis esencialmente acabados. No puede haber un número entero $a$ tal que $(a-r_1)(a-r_2)(a-r_3)(a-r_4)(a-r_5)g(a)=4$ . Para el $a-r_i$ son enteros distintos, y ningún producto de $5$ los enteros distintos pueden dividir $4$ .

Answer 2

Sugerencia $\ $ Termine aplicando lo siguiente

Idea clave $\ $ Las posibles factorizaciones de un polinomio $\in\Bbb Z[x]$ están limitados por las factorizaciones de los valores enteros que toma el polinomio. Para un ejemplo sencillo, si algún valor entero tiene pocas factorizaciones (por ejemplo, una unidad $\,\pm1 $ o primar $p$ ) entonces el polinomio también debe tener pocos factores, suponiendo que los factores son distintos en el punto de evaluación. Más concretamente

Si $\, f(x) = f_1(x)\cdots f_k(x)\,$ y $\,f_i\in\Bbb Z[x]\,$ satisfacer $\color{#0a0}{f_i(n) \ne f_j(n)}\,$ para $\,i\ne j,$ todo $\,n\in \Bbb Z$

$\quad \color{}{f(n) =\pm1}\,\Rightarrow\, k\le 2\ $ si no $1$ habría $\rm\,3\,\ \color{#0a0}{distinct}$ factores $\,f_1(n),f_2(n),f_3(n)$

$\quad f(n) = \pm p\,\Rightarrow\, k\le \color{#c0f}4\ $ ya que un primo $p$ tiene como máximo $\,\color{#c0f}4\,$ factores distintos $\,\pm1,\pm p$

Nota: $\ $ Se puede llevar la idea clave al extremo para obtener un simple algoritmo para la factorización de polinomios mediante la factorización de sus valores enteros y la interpolación de Lagrange. Las ideas de este algoritmo se deben en parte a Bernoulli, Schubert y Kronecker. Véase esta respuesta para las referencias.