Dejemos que $(X,\|\cdot\|)$ sea un espacio lineal normado. Recordemos de los resultados anteriores que $(X,\|\cdot\|)$ es Banach $\iff$ cualquier serie absolutamente convergente en $(X,\|\cdot\|)$ converge.
(a) Dé un ejemplo de un espacio de Banach $(X,\|\cdot\|)$ y una serie convergente que no es absolutamente convergente.
(b) Dé un ejemplo de un espacio lineal normado $(X,\|\cdot\|)$ y una convergencia absoluta que no es convergente.
No he probado mucho, realmente no sé por dónde empezar.
Empecemos por (a), el ejemplo más sencillo (y más conocido) es el espacio de Banach $\mathbf R$ con el valor absoluto como norma, y la serie $$ \sum_n (-1)^n \frac 1n $$ que converge por el criterio de Leibnitz, pero no es convergente absoluto.
Para (b), dejemos que $X = c_{00}$ las secuencias reales con sólo términos finitamente distintos de cero con la supnorma. Denotemos por $e_n \in c_{00}$ las secuencias que constan sólo de ceros pero un uno como el $n$ -término. Consideremos la secuencia $$ \sum_n \frac 1{n^2} e_n $$ que converge a $(n^{-2})$ en $c_0$ (pero esto no es un elemento de $c_{00})$ por lo que no converge en $c_{00}$ pero converge absolutamente, ya que $\sum_n n^{-2} < \infty$ :
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