Primera parte de la prueba de "El truco de Jouanolou"

Question

Permítanme exponer primero el truco de Jouanolou: (en todo el campo es $k$ que es algebraicamente cerrado)

Para cualquier variedad proyectiva $X$ existe una variedad afín $Y$ y un mapa sobre $Y\to X$ tal que las fibras de este mapa son isomorfas a un espacio afín, $\mathbb{A}^N$ .

En realidad, la prueba de la proposición anterior es bastante sencilla una vez que probamos lo siguiente:

Denota por $Y$ el conjunto de idempotentes $n\times n$ matrices $M^2=M$ (es decir $M\in \mathrm{Mat}_n(k)$ ), de manera que $\mathrm{rank}(M)=1$ . Entonces $Y$ es una variedad afín (subvariedad cerrada de $M\in \mathrm{Mat}_n(k)\equiv \mathbb{A}^{n^2}$ ).

En primer lugar $M^2=M$ da $n^2$ ecuaciones polinómicas restringiendo las matrices sólo a las idempotentes. Así que sólo queda imponer la $\mathrm{rank}(M)=1$ condición. Aquí es básicamente donde me quedé atascado:

Cómo aplicar $\mathrm{rank}(M)=1$ en una matriz utilizando sólo ecuaciones polinómicas?

Primer intento : Yo argumenté (al principio) que $\mathrm{rank}(M)=1$ significa que el polinomio característico es $x^{n-1}(x-1)$ , por lo que debería ser suficiente para exigir $M^{n-1}(M-1)=0$ por Cayley-Hamilton. Pero esto no es nada nuevo ya que si $\mathrm{rank}(M)\neq 0, n$ y $M^2=M$ entonces, en general $M^{m}(M-1)^{n-m}=M(M-1)$ .

Segundo intento : Exigí $\det (1-M)=0$ y $\det M=0$ esto restringe el rango de $M$ a $0<\mathrm{rank}(M)<n$ . Pero esto tampoco va a ninguna parte.

Tercer intento : Supongamos que $M$ es de rango uno. Construye una $2\times n$ matriz $N(i,j)$ teniendo la $i$ La fila de $M$ como su primera fila y el $j$ La fila de $M$ como su segunda fila. Ahora $\mathrm{rank}(N(i,j))$ es cero o uno. Esto significa que las filas de $N(i,j)$ son linealmente dependientes. Así que tenemos un polinomio que relaciona estas filas. Hacerlo para todos los pares de filas impone completamente la condición de rango uno. Pero entonces me di cuenta de que estos polinomios dependen en gran medida de la forma específica de $M$ Así que, de nuevo, tampoco son buenos.

Alguna pista sobre cómo implementar $\mathrm{rank}(M)=1$ en una matriz utilizando una ecuación polinómica?

Answer 1

He aquí una bella ilustración geométrica del truco de Jouanoulou, sugerida por un amigo mío, en el caso más simple en el que $X=\mathbb P^1$ .

El rango $1$ proyecciones $M=M^2: k^2\to k^2$ corresponde exactamente a pares ordenados distintos $(K,I)$ de subespacios vectoriales unidimensionales $K,I\subset k^2$ .
La correspondencia biyectiva viene dada simplemente por $\operatorname {Ker}(M)=K$ y $\operatorname {Im}(M)=I$ .
Pero estos pares forman la variedad $Y=\mathbb P^1\times\mathbb P^1\setminus \Delta $ , donde $\Delta \subset \mathbb P^1\times\mathbb P^1$ es el conjunto de pares $(L,L)$ que consiste en dos veces la misma línea $L\subset k^2$ .
Este conjunto $Y$ es afín. Aquí está el porqué:

El mapa de Segre $$\mathbb P^1\times\mathbb P^1\to \mathbb P^3: ([x_0,x_1],[y_0,y_1])\mapsto [z_0=x_0y_0,z_1=x_0y_1,z_2=x_1y_0,z_3=x_1y_1]$$ (cuya imagen es la cuádrica lisa $z_0z_3-z_1z_2=0$ ) envía $Y$ isomórficamente en el cerrado subconjunto $Y' =V(z_0z_3-z_1z_2)\cap U\subset U$ del subconjunto abierto $U=\mathbb P^3\setminus V(z_1-z_2)$ .
Pero este conjunto abierto $U$ es isomorfo a $\mathbb A^3$ (ya que es el complemento de un hiperplano en $\mathbb P^3$ ) y por lo tanto $Y'\subset U$ es afín.

Conclusión: La variedad $Y$ (que es isomorfo a $Y'$ ) es afín, isomorfa a una superficie cuádrica lisa cerrada en $\mathbb A^3.$

Editar: Olvidé decir que el morfismo $f:Y\to X=\mathbb P^1=\mathbb P(k^2)$ viene dada por $(K,L)\mapsto K$ .
La fibra $f^{-1}(K)$ consiste en todos los pares $(K,L)$ con $L\neq K\subset k^2$ y por tanto es un subconjunto cerrado $f^{-1}(K)\subset Y$ isomorfo a $\mathbb A^1$ .
Por lo tanto, obtenemos un haz localmente trivial $f:Y\to X=\mathbb P^1$ con el espacio total una variedad afín y con la fibra $\mathbb A^1$ , pero que no puede convertirse en un haz vectorial porque no tiene sección.
[Porque la imagen de esa sección sería una línea proyectiva incrustada en la variedad afín $Y$ ¡un completo disparate!].
Muy interesante este truco de Jouanolou, ¿no?