Familias de funciones cerradas por integración

Question

¿Cuáles son algunas familias concretas $\mathcal F$ de funciones reales que son cerradas bajo integración en el sentido de que para cada $f \in \mathcal F$ hay $F \in \mathcal F$ tal que $F'=f$ ?

Estos son los ejemplos más sencillos que conozco:

• El espacio vectorial generado por funciones de la forma $x^n$ , es decir, funciones polinómicas.

• El espacio vectorial generado por funciones de la forma $x^n e^{a x}$ para $a\in \mathbb R$ es decir, sumas de funciones de la forma $p(x) e^{a x}$ , para $p$ un polinomio y diferentes $a$ .

• El espacio vectorial generado por funciones de la forma $x^n \log (a x)$ para $a\in \mathbb R$ es decir, sumas de funciones de la forma $p(x) \log (a x)$ , para $p$ un polinomio y diferentes $a$ .

¿Hay algún otro ejemplo?

Por supuesto, la familia de funciones racionales no está cerrada bajo integración.

El tercer ejemplo es interesante porque, a diferencia de los otros dos, no es cerrado bajo diferenciación.

En todos estos ejemplos, el álgebra correspondiente también es cerrada bajo integración, es decir, se pueden considerar también productos y seguir encontrando una primitiva dentro de la familia. ¿Hay ejemplos que no sean álgebras?

Answer 1

Dos ejemplos bastante triviales:

• Todas las funciones polinómicas divisibles por $x^{2013}$ (cada uno tiene exactamente uno primitiva en la clase, y la clase no está cerrada bajo diferenciación).
• $\{\, x\mapsto ce^x \mid c\in \Bbb R\,\}$ (la diferenciación o toma de primitivas es bastante aburrida en este conjunto). Como no pediste un espacio vectorial, también puedes dejar que $c$ rango sobre un subconjunto de $~\Bbb R$ .

Answer 2

Otro ejemplo (bastante útil por varias razones) es el conjunto de polinomios trigonométricos

$$f(x) = \sum\limits_{k \in A} c_k e^{i k x}$$

donde $A \subseteq \mathbb{Z}$ es finito. Esto es cerrado bajo integración y diferenciación, y de hecho tiene algunas buenas propiedades de densidad relacionadas con las series de Fourier.

Para que las funciones tengan valor real estricto, consideraríamos la familia (esencialmente idéntica)

$$f(x) = \sum\limits_{k \in A} a_k \sin{kx} + b_k \cos{kx}$$