¿Es la media de una órbita densa ergódica para la función de desplazamiento?

Question

Dejemos que $\sigma$ sea la función de desplazamiento en el espacio de secuencias infinitas de dos lados de $\{0,1\}$ , $X=\{0,1\}^\mathbb{Z}$ equipado con topología de productos. Sabemos que hay algún punto $x\in X$ con órbita densa bajo $\sigma$ . Ahora la secuencia:

$$\mu_n=\frac1n\sum\limits_{i=0}^{n-1}\delta_{\sigma^i(x)}$$

de $\sigma$ -medidas de probabilidad invariantes en $X$ tiene una subsecuencia convergente en topología débil* que tiende a alguna medida invariante $\mu$ .

Es $\mu$ ergódica para $\sigma$ ?

Es $\mu$ la medida habitual del producto en $X$ ?

Answer 1

No necesariamente.

Por qué $\mu$ no es necesariamente la medida del producto uniforme:

Aunque la órbita de $x$ es denso, podría haber un sesgo arbitrario en la frecuencia con la que visita diferentes regiones. Por ejemplo, dejemos que $w^{(1)}, w^{(2)}, \ldots$ sea una enumeración de $\{0,1\}^*$ (es decir, todas las palabras binarias finitas). Construir $x$ como

$$x = \cdots 0\,0\,0\,\underline{0}\,0^{n_1}\,w^{(1)}\,0^{n_2}\,w^{(2)}\,0^{n_3}\,w^{(3)}\cdots\;.$$

(El subrayado indica el símbolo en el origen.) La órbita de $x$ es claramente denso, pero si se elige $n_1, n_2,\ldots$ adecuadamente, las medidas $\mu_n$ convergen a la medida de Dirac concentrada en el todo $0$ secuencia. (Más concretamente, la frecuencia de los índices $i$ de manera que el bloque $x_{[i,i+k)}$ es cualquier cosa menos $0^k$ converge a $0$ .)

Por qué $\mu$ no es necesariamente ergódica:

Repite una construcción similar esta vez con

$$x = \cdots 0\,0\,0\,\underline{0}\,0^{n_1}\,w^{(1)}\,1^{n_2}\,w^{(2)}\,0^{n_3}\,w^{(3)}\,1^{(n_4)}\cdots\;.$$

(Es decir, los bloques que separan $w^{(i)}$ s son alternativamente todos- $0$ s y todo- $1$ s.) De nuevo, la elección de $n_1,n_2,\ldots$ adecuadamente, las medidas $\mu_n$ convergen a la combinación convexa uniforme de las dos medidas de Dirac concentradas en el todo $0$ y todo $1$ secuencias.

De hecho, existe un teorema de Kakutani que afirma que toda medida de probabilidad sobre $\{0,1\}^{\mathbb{Z}}$ puede obtenerse como la estadística de la órbita de alguna secuencia en $\{0,1\}^{\mathbb{Z}}$ . Modificando ligeramente dicha secuencia, se puede conseguir que tenga una órbita densa.