Demostrar que $\max{\{|a|+|b|,|c|+|d|\}} \leq \max{\{|a|,|c|\}}+\max{\{|b|,|d|\}}.$

Question

Demostrar que $\max{\{|a|+|b|,|c|+|d|\}} \leq \max{\{|a|,|c|\}}+\max{\{|b|,|d|\}}.$

Quería demostrar que $d(p,q)=\max{\{|x_1-x_2|,|y_1-y_2|\}}$ donde $p=(x_1,y_1),q=(x_2,y_2)$ es una métrica en $\mathbb{R^2}.$ Para demostrar la desigualdad del triángulo, dejemos que $p=(x_1,y_1),q=(x_2,y_2),r=(x_3,y_3).$ Entonces \begin{align*} d(p,r)&=\max{\{|x_1-x_3|,|y_1-y_3|\}}\\ &\le \max{\{|x_1-x_2|+|x_2-x_3|,|y_1-y_2|+|y_2-y_3|\}}\\ &\le \max{\{|x_1-x_2|,|y_1-y_2|\}}+\max{\{|x_2-x_3|,|y_2-y_3|\}}=d(p,q)+d(q,r) \end{align*} No entiendo cómo esta desigualdad es cierta.

Answer 1

Sugerencia : Intenta escribir

$$\max(f,g)=\frac{|f-g|+f+g}{2}.$$

Tal vez pueda ayudar.

Answer 2

$|a| \le \max(|a|,|b|)$ y $|c| \le \max(|c|,|d|)$ así que $|a| + |b| \le \max(|a|,|b|) + \max(|c|,|d|)$ .

Asimismo, $|b| \le \max(|a|,|b|)$ y $|d| \le \max(|c|,|d|)$ así que $|b| + |d| \le \max(|a|,|b|) + \max(|c|,|d|)$ .

Así que ambos $|a| + |c|$ y $|b| + |d|$ $\le \max(|a|,|b|) + \max(|c|,|d|)$ .

Así que $\max(|a| + |c|,|b| + |d|)\le \max(|a|,|b|) + \max(|c|,|d|)$ .

Answer 3

Todo se reduce al hecho de que para cualquier número real $a$ , $|a| \le \max\{|a|, |b|\}$ para cualquier número real $b$ . Permítanme hacer la primera desigualdad. Supongamos que $\max\{|x_1-x_3|,|y_1-y_3|\}=|x_1-x_3|$ la desigualdad del triángulo da como resultado \begin{align*} \max\{|x_1-x_3|,|y_1-y_3|\}=|x_1-x_3| & \le |x_1-x_2| + |x_2-x_3|\\ & \le \max\{|x_1-x_2| + |x_2-x_3|, |y_1-y_2|+|y_2-y_3|\}. \end{align*} Si por el contrario, $\max\{|x_1-x_3|,|y_1-y_3|\}=|y_1-y_3|$ un argumento similar da como resultado \begin{align*} \max\{|x_1-x_3|,|y_1-y_3|\}=|y_1-y_3| & \le |y_1-y_2| + |y_2-y_3|\\ & \le \max\{|y_1-y_2| + |y_2-y_3|, |x_1-x_2|+|x_2-x_3|\}. \end{align*} Así, vemos que en ambos casos, tenemos $$ \max\{|x_1-x_3|,|y_1-y_3|\}\le \max\||x_1-x_2|+|x_2-x_3|,|y_1-y_2|+|y_2-y_3|\}. $$ La segunda desigualdad se deduce por un argumento similar.