Encontrar el número de elementos de orden 2 o 4

Question

Sé que en un grupo cíclico, el número de elementos de orden $n$ es $\phi(n)$ en el producto directo.

Por ejemplo, $\mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$ , hay 7 elementos de orden 2 y lo que se hace es $\phi(2) * 4 + 3$ pero... ¿por qué exactamente? De forma similar para los elementos de orden 4.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Supongo que por $\mathbb Z_n$ te refieres al grupo de enteros mod $n$ y la adición.
A continuación, todos los grupos serán de orden $2^n$ para algunos $n \ge 0$ .
Dejemos que $O(n,G)=$ el número de elementos de orden $2^n$ en $G$ .
Entonces $O(k,\mathbb Z_{2^n}) = 2^{k-1} \text { for }1\le k \le n \text { and } 0 $ de lo contrario.

Teorema : $$O(k,G \oplus H) =O(k,G)\sum_{i=0}^{k}O(i,H)+ O(k,H\sum_{j=0}^{k}O(j,G) -O(k,G)O(k,H)$$ Prueba : Contando de la siguiente manera:
Dejemos que $|(g,h)|=2^k$ en $G\oplus H$ entonces $\max \{|g|, |h|\}=2^k$ así que
o bien $|g|=2^k \text { and } |h| \le 2^k$ o viceversa. El primer término de la suma cuenta la primera posibilidad, el segundo término cuenta la viceversa y el tercer término cuenta el solapamiento, si lo hay.

Respuesta al problema planteado se desprende de la aplicación del Teorema, secuencialmente si es necesario. Por ejemplo:
$O(0,\mathbb Z_{2^3} \oplus \mathbb Z_{2^1}) = 1(1)+1(1)-1(1)=1$
$O(1,\mathbb Z_{2^3} \oplus \mathbb Z_{2^1}) = 1(1+1)+1(1+1)-1(1)=3$ $O(2,\mathbb Z_{2^3} \oplus \mathbb Z_{2^1}) = 2(1+1)+0(1+1+2)-2(0)=4$ $O(3,\mathbb Z_{2^3} \oplus \mathbb Z_{2^1}) = 4(1+1)+0(1+1+2+4)-4(0)=8$
Para un total de 16 elementos.

El Teorema (o alguna generalización del mismo) es probablemente cierto para un primo arbitrario en lugar de $2$ . Acabo de probar lo que necesitaba para responder a la pregunta.