Generador de un ideal en el anillo polinómico $ F[x] $ para un campo $ F $

Question

Dejemos que $ F $ sea un campo y consideremos el anillo de polinomios $ F[x] $ . Sé que $ F[x] $ es un dominio ideal principal y por tanto el ideal $\langle x^{n - 2} - x^{n - 1}, x^{n - 3} - x^{n - 1}, \dots, x - x^{n - 1}, 1 - x^{n - 1} \rangle $ es generado por un solo elemento en $ F[x] $ . Mi opinión es que $$ \langle x^{n - 2} - x^{n - 1}, x^{n - 3} - x^{n - 1}, \dots, x - x^{n - 1}, 1 - x^{n - 1} \rangle = \langle 1 - x \rangle. $$

He demostrado que $ \langle x^{n - 2} - x^{n - 1}, x^{n - 3} - x^{n - 1}, \dots, x - x^{n - 1}, 1 - x^{n - 1} \rangle \subset \langle 1 - x \rangle $ pero estoy luchando por probar la otra dirección.

Mi enfoque es escribir un elemento $ f(x) = \sum_{i = 0} a_{i} x^{i} $ en $ \langle 1 - x \rangle $ en la forma $ f_{1}(x^{n - 2} - x^{n - 1}) + f_{2}(x^{n - 3} - x^{n - 1}) + \dots + f_{n - 2}(x - x^{n - 1}) + f_{n - 1}(1 - x^{n - 1}) $ pour $ f_{i} \in F[x] $ .

Si el grado de $ f $ no supera $ n - 2 $ entonces puedo construir $$ f(x) = a_{0}(1 - x^{n - 1}) + (a_{1} - a_{0})(x - x^{n - 1}) + (a_{2} - a_{1})(x^2 - x^{n - 1}) + \dots + (a_{n - 3} - a_{n - 4})(x^{n - 3} - x^{n - 1}) + (a_{n - 2} - a_{n - 3})(x^{n - 2} - x^{n - 1}).$$ Esto implica $ f(x) \in \langle x^{n - 2} - x^{n - 1}, x^{n - 3} - x^{n - 1}, \dots, x - x^{n - 1}, 1 - x^{n - 1} \rangle $ pero esto falla cuando $ \deg(f) > n - 2 $ .

Answer 1

Sabemos que cada elemento del ideal $\langle 1-x\rangle$ es un múltiplo de $(1-x)$ Así que..:

$$f(x) = (1-x) \sum_{i = 0}^m a_{i} x^{i}$$

Generar $1-x$ simplemente restando el penúltimo elemento de la base del último:

$$(1-x^{n-1}) - (x-x^{n-1}) = 1-x$$

Ya casi hemos terminado:

$$f(x) = [(1-x^{n-1}) - (x-x^{n-1})] \sum_{i = 0}^m a_{i} x^{i}$$

Sólo hay que poner a cero los demás coeficientes.