¿Cómo demostrar que la autocorrelación de esta variable aleatoria sólo está relacionada con la diferencia de tiempo?

Question

Supongamos que $X_n$ es un proceso aleatorio gaussiano iid con media cero y varianza $\sigma^2$ y $U_n$ sea un proceso aleatorio binario iid con $P_r\{ U_{n}=1\}=P_r\{U_n=-1\}=0.5$ y $\{U_n\}$ es independiente de $\{X_n\}$ Ahora bien, dejemos que $Z_n=X_n U_n$ .

Ahora, quiero probar el $Z_n$ es WSS, y sabemos que si un proceso aleatorio es WSS, debe satisfacer estas dos propiedades

$1$ . La media es un valor constante

$2$ . La autocorrelación sólo está relacionada con la diferencia de tiempo

Y conozco la media de $Z$ es cero, y cero es una constante, pero ¿cómo demuestro la segunda propiedad?

Answer 1

Es fácil ver que $Z_n$ tiene la misma distribución que $X_n$ pero te dejo la argumentación (¿un giro de signo equiprobable cambia un PDF simétrico?). La autocorrelación de $Z_n$ es, por tanto, la misma que la de $X_n$ es decir \begin{align*} R_{ZZ}(m,n) &= R_{XX}(m,n) = \mathrm{E}[X_m X_n] = \sigma^2 \delta_{m,n} \\ &= \left\{\begin{array}{ll} \sigma^2 & \text{if } m = n \\ 0 & \text{otherwise} \end{array} \derecho. \\ &= \N - Izquierda. \begin{array}{ll} \sigma^2 & \text{if } m-n = 0 \\ 0 & \text{if } m-n \neq 0 \end{array} \derecho. \\ &= \tilde{R}_{ZZ}(m-n) \pend{align*} que es una función de $m-n$ .