Una pregunta sobre la función de recuento de primas

Question

Sabemos que la función de recuento de primas, $\pi(x)$ se puede escribir como: $$ \pi(x)=\sum_{p\;prime} 1 $$ Ahora, una forma de reescribir esto es que si se considera que la función $a(x)$ representa si $x$ es primo o no, tal que $$ a(x)= \begin{cases} 1, & \text{if x is prime} \\ 0, & \text{if otherwise} \end{cases} $$ Y ahora, podemos reescribir $\pi(x)$ como: $$ \pi(x)=\sum_{n=1}^x a(n) $$ Ahora, si dejas que $\delta(x)$ sea una función similar a $\pi(x)$ pero no exactamente, de tal manera que: $$ \delta(x)=\sum_{n=1}^x a(n)a(x-n) $$ ¿Podemos escribir $\delta(x)$ en términos de $\pi(x)$ ?

Answer 1

Parece poco probable que $\delta(x)$ puede escribirse en términos de $\pi(x)$ en cualquier capacidad significativa.

Tenga en cuenta que $a(n)a(x-n)=1$ si y sólo si $n$ y $x-n$ son primos (y es $0$ en caso contrario). Así que, $\delta(x)$ cuenta el número de pares (ordenados) de números primos que suman $x$ . En particular, está abierto (conjetura de Goldbach) si $\delta(2m)>0$ para todos los enteros positivos $m\geq 4$ .