Modelo en el dominio del tiempo de un condensador cuando la capacitancia varía con el tiempo

Question

La corriente que atraviesa un condensador en función del tiempo viene dada por;

$$i(t)=C\cdot \frac{d}{dt}U(t)$$

Al suponer que la capacitancia $C$ no varía con el tiempo.

Pero, ¿y si lo hace?

No sé cómo derivar la ecuación anterior de la ley de Gauss, así que aquí está en su lugar mi intento de una solución de tipo "sentido común", no sé si esto es válido o un disparate.

Integrando la ecuación anterior;

$$Q(t)=\int i(t) dt=C\cdot U(t)$$

obtenemos la ecuación de la carga $Q=C\cdot U$ ,

Supongo que esto es siempre válido, incluso si $C$ es una función del tiempo (ignoremos por un momento la relatividad y la mecánica cuántica).

Si eso es cierto, entonces para volver a la ecuación original todo lo que tengo que hacer es diferenciar, esta vez dejando $C$ sea una función del tiempo;

$$i(t)=\frac{d}{dt}Q(t)=\frac{d}{dt}[C(t)\cdot U(t)]=\frac{d}{dt}C(t)\cdot U(t)+C(t)\cdot \frac{d}{dt}U(t)$$

que da el resultado;

$$i(t)=\frac{d}{dt}C(t)\cdot U(t)+C(t)\cdot \frac{d}{dt}U(t)$$

¿Es válida esta ecuación? ¿O cómo se resuelve la corriente a través de un condensador con capacitancia y tensión variables?

Answer 1

Sí, su ecuación para i(t) es correcta

Answer 2

La primera ecuación expresa correctamente la carga como una integral de la corriente: $$Q(t)=\int_{-\infty}^{t}i(\tau)d\tau.$$ El problema, sin embargo, está en la definición de capacitancia, utilizada en la segunda ecuación, como coeficiente de proporcionalidad entre la carga y la diferencia de potencial, $Q(t)=C(t)U(t)$ ya que no hay razón para pensar que la carga responda instantáneamente a un cambio de potencial. De hecho, para que esto fuera cierto tendríamos que tener una corriente infinita, lo que haría que la primera ecuación no tuviera sentido.

La solución que más se aproxima a la definición de la capacitancia lineal es relacionar la carga y el potencial mediante una integral de convolución: $$Q(t) = \int_{-\infty}^tC(t-\tau)U(\tau).$$ Aunque esto puede parecer una complicación, en realidad es una simplificación desde el punto de vista de la teoría del circuito, ya que en el dominio de la frecuencia (es decir, después de la transformada de Laplace o Fourier) obtendríamos $$\tilde{Q}(\omega)=\tilde{C}(\omega)\tilde{U}(\omega),$$ es decir, una relación lineal conveniente.

Actualización
Mientras que la discusión anterior se centraba en la incompatibilidad entre las expresiones que relacionan carga&corriente y carga&potencial en la pregunta, se perdía el punto esencial: que la capacitancia está cambiando en el tiempo. Esto significa que tenemos que utilizar $C(t,\tau)$ en lugar de $C(t -\tau)$ lo que complica aún más la cuestión.