Polinomio

Question

Encontrar todos los polinomios $f(x)$, que $f(x)f(2x^2)=f(2x^3+x)$.

No tengo ni idea cómo hacerlo.

Answer 1

Como se observa en otras respuestas, el coeficiente inicial de $f$, y el término constante tanto tiene que ser igual a $1$ (si $f$ no es idéntica $0$). Supongamos ahora que $f$ tiene complejo de raíz con valor absoluto mayor que 1. Deje $z$ uno de ellos con mayor valor absoluto. Ahora $2z^3 + z$ es también una raíz, por el triángulo de la desigualdad $$ |2z^3 + z| = |z||2z^2 + 1| \geq |z|(|2z^2| - 1) > |z|(2 - 1) = |z|, $$ contradiciendo la suposición. Así que todas las raíces tienen valor absoluto $\leq 1$. Pero el producto de los valores absolutos de las raíces es $1$ (el término constante es $1$), por lo que todos ellos son de un valor absoluto.

Utilizando de nuevo la anterior desigualdad con $|z| = 1$ en lugar de $|z| > 1$, obtenemos que para todas las raíces $$ |2z^2 + 1| = |2z^2| - 1, $$ que es muy fácil sólo es posible si $z^2 = -1$$z = \pm i$. Tan sólo es posible raíces se $\pm i$ e si $i$, $2i^3 + i = -i$ y viceversa.

Por último, para asegurarse de que multiplicidades de $i$ $-i$ son iguales: si $f$ tiene raíces, tiene factor de $z^2 + 1$ mediante nuestra observación, y de factoring, que vemos que el polinomio resultante también satisface la ecuación funcional. De hecho, las únicas soluciones son constantes polinomios $0$ $1$ $(x^2+1)^k$ por entero positivo $k$.

Answer 2

Otro resultado parcial: $f(x) = 0 $ todos los $x$ o $f$ no tiene raíces reales.

Prueba:

Deje $r$ ser el más grande de la verdadera raíz de la $f$. Entonces, por la ecuación funcional, $ 2r^3+r$ también es una raíz de $f$, y así, por la definición de $r$, $$ r \geq 2r^3+r $$ which simplifies to $$ 0 \geq r$$ Similarly, if we let $n$ be the smallest root of $f$, once again by the functional equation $2n^3+n $ is also a root and so $$ n \leq 2n^3+n$$ which simplifies to $$ 0 \leq n$$ So any root of $f$ must be between $0$ and $0$ and hence can only be $0$. So now there are two possibilities: 1) $f$ has no real roots 2) $f$ only has roots at $x=0$. In the second case, $f$ must be of the form $$ f(x) = a x^n $$ for some constant $a$ and non-negative integer $n$. Substituting this in the functional equation yields $$ ax^n a(2x^2)^n = a (2x^3+x)^n$$ $$ a^2 2^n x^{3n} = a (2x^3+x)^n $$ which is only possible if $n=0$ ya que de lo contrario el lado derecho tiene varios términos. Por lo tanto, nos quedamos con $$ a^2 = a$$ and $$f(x)=a$$ so $un=0$ or $=1$, but we must take $=0$ since case 2) is under the assumption that $f$ has a root at $x=0$. Esto completa la prueba.

Answer 3

No es una solución, pero algunas observaciones: si $f$ es constante, $f(x) = c$ $c^2 = c$ % por lo tanto $c\in\{0,1\}$.

Si $f$ no es constante, pero tiene una raíz $a$, entonces (como gtrrebel dijo) $2a^3+a$ es una raíz demasiado. Si $a = 2a^3+a$, entonces el $a=0$, que significa $x$ es un factor de $f$. Si $a\neq 2a^3+a$ entonces $(x-a)(x-2a^3-a)$ es un factor de $f$. Si es positivo que podemos resolver $a$ $a=2b^2$ $b = \sqrt{a/2}$, $2b^3+b$ es una raíz con el mismo argumento.

Answer 4

Esta es una solución parcial, así.
Si $f$ tiene el grado $n$, y el coeficiente inicial $c$, entonces el líder de los coeficientes de la ecuación son la $c^22^n=c2^n$, lo $c=1$.
Si $f(0)=d$$d^2=d$. Si $d=0$, entonces la ecuación muestra que $f(x)$ es divisible por $x^3$; a continuación, repita este y $f(x)$ es divisible por $x^9,x^{27}$ y así sucesivamente. Por lo $d=1$.
El coeficiente de $x^{3n-1}$ es cero en el lado derecho, por lo que es cero en el lado izquierdo, de modo que el coeficiente de $x^{n-1}$ $f(x)$ es cero.
$f(x)=x^2+1$ obras. (lo hace f(x)=0, si que es un polinomio)